ألغاز الاحتمالات: اختبر قدرتك على توقع النتائج

ألغاز الاحتمالات

اللغز: في صندوق يوجد 3 كرات حمراء و 2 كرات زرقاء. إذا سحبت كرتين عشوائيًا، ما احتمال أن تكون الكرتان من نفس اللون؟
الحل:
- الاحتمال الكلي = 10C2 = 45
- احتمال سحب كرتين حمراوين = 3C2 = 3
- احتمال سحب كرتين زرقاوين = 2C2 = 1
- احتمال أن تكون الكرتان من نفس اللون = (3 + 1) / 45 = 4/45
اللغز: عند رمي زوج من النرد، ما احتمال الحصول على مجموع أكبر من 9؟
الحل:
- الحالات المطلوبة: (4,6), (5,5), (5,6), (6,4), (6,5), (6,6)
- عدد الحالات المطلوبة = 6
- إجمالي الاحتمالات = 6 × 6 = 36
- الاحتمال = 6/36 = 1/6
اللغز: في فصل به 25 طالبًا، ما احتمال أن يكون لطالبين على الأقل نفس تاريخ الميلاد؟ (افترض أن السنة ليست كبيسة)
الحل:
- نحسب احتمال عدم وجود أي تطابق أولاً
- الاحتمال = 1 – (365 × 364 × 363 × … × 341) / (365^25)
- الاحتمال ≈ 0.5687 أو حوالي 56.87%
اللغز: إذا اخترنا 3 أرقام عشوائية من 1 إلى 20، ما احتمال أن يكون أحدها على الأقل زوجيًا؟

الحل:
- عدد الأرقام الزوجية من 1 إلى 20 هو 10
- احتمال اختيار 3 أرقام فردية = (10/20) × (9/19) × (8/18)
- الاحتمال المطلوب = 1 – احتمال اختيار 3 أرقام فردية
- الاحتمال = 1 – (10/20 × 9/19 × 8/18) ≈ 0.8684 أو 86.84%
اللغز: في كيس به 5 تفاحات و 3 برتقالات، إذا أخذنا 3 فواكه عشوائيًا، ما احتمال الحصول على تفاحتين وبرتقالة واحدة؟
الحل:
- إجمالي الطرق لاختيار 3 فواكه = 8C3 = 56
- عدد الطرق لاختيار تفاحتين وبرتقالة = 5C2 × 3C1 = 10 × 3 = 30
- الاحتمال = 30/56 ≈ 0.5357 أو 53.57%
اللغز: في لعبة ورق، تم سحب ورقة عشوائياً من مجموعة كاملة من 52 ورقة. ما احتمال أن تكون الورقة إما ملك أو من لون القلب؟
الحل:
- عدد الملوك = 4
- عدد أوراق القلب = 13
- لكن هناك ملك قلب واحد تم عده مرتين، لذا نطرحه
- الاحتمال = (4 + 13 – 1) / 52 = 16 / 52 = 4 / 13 ≈ 0.3077 أو 30.77%
اللغز: في صندوق يحتوي على 10 مصابيح، 3 منها معطلة. إذا تم اختيار 4 مصابيح عشوائياً، ما احتمال أن تكون جميعها تعمل؟
الحل:
- إجمالي الطرق لاختيار 4 مصابيح = 10C4 = 210
- عدد الطرق لاختيار 4 مصابيح تعمل = 7C4 = 35
- الاحتمال = 35 / 210 = 1 / 6 ≈ 0.1667 أو 16.67%
اللغز: في مسابقة، يجب على المتسابق الإجابة على 3 أسئلة من أصل 5. إذا أجاب المتسابق عشوائياً، ما احتمال حصوله على إجابتين صحيحتين على الأقل؟
الحل:
- احتمال الإجابة الصحيحة لكل سؤال = 1/4
- احتمال الحصول على 3 إجابات صحيحة = (1/4)³
- احتمال الحصول على إجابتين صحيحة وواحدة خاطئة = 3C2 × (1/4)² × (3/4)
- الاحتمال الكلي = (1/4)³ + 3 × (1/4)² × (3/4) = 27/256 ≈ 0.1055 أو 10.55%
اللغز: في مجموعة من 8 أشخاص، ما احتمال أن يكون لشخصين على الأقل نفس اليوم المفضل من أيام الأسبوع؟
الحل:
- نحسب احتمال عدم وجود أي تطابق أولاً
- الاحتمال = 1 – (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (7^8)
- الاحتمال ≈ 0.6977 أو 69.77%
اللغز: في لعبة رمي عملة معدنية 5 مرات، ما احتمال الحصول على عدد فردي من الصور؟
الحل:
- الحالات المطلوبة: 1 صورة أو 3 صور أو 5 صور
- احتمال الحصول على صورة واحدة = 5C1 × (1/2)¹ × (1/2)⁴
- احتمال الحصول على 3 صور = 5C3 × (1/2)³ × (1/2)²
- احتمال الحصول على 5 صور = 5C5 × (1/2)⁵
- الاحتمال الكلي = (5/32) + (10/32) + (1/32) = 16/32 = 1/2 = 0.5 أو 50%
اللغز: في صندوق يحتوي على 20 كرة، 8 منها حمراء و 7 زرقاء و 5 خضراء. إذا تم سحب كرتين عشوائيًا بدون إرجاع، ما احتمال أن تكون الكرة الأولى حمراء والثانية زرقاء؟
الحل:
- احتمال سحب كرة حمراء أولاً = 8/20
- احتمال سحب كرة زرقاء ثانيًا (بعد سحب حمراء) = 7/19
- الاحتمال الكلي = (8/20) × (7/19) = 56/380 = 14/95 ≈ 0.1474 أو 14.74%
اللغز: في مسابقة اختيار من متعدد، هناك 10 أسئلة ولكل سؤال 4 خيارات. إذا أجاب طالب عشوائيًا على جميع الأسئلة، ما احتمال حصوله على 6 إجابات صحيحة بالضبط؟
الحل:
- استخدام توزيع ذي الحدين:
- الاحتمال = 10C6 × (1/4)⁶ × (3/4)⁴
- الاحتمال ≈ 0.0355 أو 3.55%
اللغز: في مجموعة من 30 شخصًا، ما احتمال أن يكون هناك على الأقل شخصان لهما نفس تاريخ الميلاد؟ (افترض أن السنة ليست كبيسة)
الحل:
- نحسب احتمال عدم وجود أي تطابق أولاً
- الاحتمال = 1 – (365 × 364 × 363 × … × 336) / (365³⁰)
- الاحتمال ≈ 0.7063 أو 70.63%
اللغز: في لعبة رمي النرد 3 مرات، ما احتمال الحصول على مجموع أكبر من 15؟
الحل:
- الحالات المطلوبة: (5,5,6), (5,6,5), (6,5,5), (5,6,6), (6,5,6), (6,6,5), (6,6,6)
- عدد الحالات المطلوبة = 7
- إجمالي الاحتمالات = 6³ = 216
- الاحتمال = 7/216 ≈ 0.0324 أو 3.24%
اللغز: في كيس يحتوي على 10 كرات بيضاء و 5 كرات سوداء، يتم سحب 3 كرات بالتتابع مع إرجاع الكرة في كل مرة. ما احتمال سحب كرتين بيضاء وكرة سوداء واحدة بأي ترتيب؟
الحل:
- احتمال سحب كرة بيضاء = 10/15 = 2/3
- احتمال سحب كرة سوداء = 5/15 = 1/3
- احتمال سحب (أبيض، أبيض، أسود) = (2/3) × (2/3) × (1/3)
- هناك 3 ترتيبات ممكنة: (أبيض، أبيض، أسود)، (أبيض، أسود، أبيض)، (أسود، أبيض، أبيض)
- الاحتمال الكلي = 3 × [(2/3) × (2/3) × (1/3)] = 4/9 ≈ 0.4444 أو 44.44%
اللغز: في مجموعة من 7 كتب، 3 منها روايات و 4 كتب علمية. إذا تم اختيار 3 كتب عشوائيًا، ما احتمال أن تكون جميعها روايات؟
الحل:
- إجمالي الطرق لاختيار 3 كتب من 7 = 7C3 = 35
- عدد الطرق لاختيار 3 روايات = 3C3 = 1
- الاحتمال = 1 / 35 ≈ 0.0286 أو 2.86%
اللغز: في لعبة تدور فيها عجلة مقسمة إلى 8 أقسام متساوية (3 حمراء، 2 زرقاء، 2 خضراء، 1 أصفر)، ما احتمال الحصول على اللون الأحمر في 3 دورات متتالية؟
الحل:
- احتمال الحصول على اللون الأحمر في دورة واحدة = 3/8
- احتمال الحصول على الأحمر 3 مرات متتالية = (3/8)³
- الاحتمال = 27/512 ≈ 0.0527 أو 5.27%
اللغز: في صف من 40 طالبًا، 15 منهم يحبون الرياضيات و 25 يحبون العلوم، و 10 يحبون كلا المادتين. إذا تم اختيار طالب عشوائيًا، ما احتمال أن يحب الرياضيات أو العلوم أو كليهما؟
الحل:
- عدد الطلاب الذين يحبون الرياضيات فقط = 15 – 10 = 5
- عدد الطلاب الذين يحبون العلوم فقط = 25 – 10 = 15
- عدد الطلاب الذين يحبون كلا المادتين = 10
- إجمالي عدد الطلاب الذين يحبون إحدى المادتين على الأقل = 5 + 15 + 10 = 30
- الاحتمال = 30 / 40 = 3 / 4 = 0.75 أو 75%
اللغز: في لعبة ورق، تم سحب ورقتين من مجموعة كاملة من 52 ورقة. ما احتمال أن تكون إحدى الورقتين آس والأخرى ملك؟
الحل:
- عدد طرق سحب آس ثم ملك = 4 × 4 = 16
- عدد طرق سحب ملك ثم آس = 4 × 4 = 16
- إجمالي الطرق المطلوبة = 16 + 16 = 32
- إجمالي طرق سحب ورقتين = 52C2 = 1326
- الاحتمال = 32 / 1326 = 16 / 663 ≈ 0.0241 أو 2.41%
اللغز: في اختبار متعدد الخيارات يتكون من 5 أسئلة، لكل سؤال 4 خيارات. إذا أجاب طالب عشوائيًا على جميع الأسئلة، ما احتمال حصوله على درجة النجاح (3 إجابات صحيحة على الأقل)؟

الحل:
- احتمال الإجابة الصحيحة لكل سؤال = 1/4
- احتمال الحصول على 5 إجابات صحيحة = (1/4)⁵
- احتمال الحصول على 4 إجابات صحيحة = 5C4 × (1/4)⁴ × (3/4)¹
- احتمال الحصول على 3 إجابات صحيحة = 5C3 × (1/4)³ × (3/4)²
- الاحتمال الكلي = (1/4)⁵ + 5C4 × (1/4)⁴ × (3/4)¹ + 5C3 × (1/4)³ × (3/4)²
- الاحتمال ≈ 0.0584 أو 5.84%

ايات طاهر