تطبيقات على نظرية ديموافر

كتابة: duaa mohe آخر تحديث: 20 فبراير 2021 , 18:32

سبب تسمية نظرية ديموافر

تعتبر نظرية ديموافر هي أهم النظريات الرياضية التي تعمل على تطوير الهندسة التحليلية، وهي مفيدة في الحصول على العلاقات بين الدوال المثلثية ذات الزوايا المتعددة.

نلاحظ أن سبب تسمية هذه النظرية يعود إلى العالم الفرنسي أبراهام دي موافر وهو عالم رياضيات شهير، وكان له علاقات وطيدة مع الكثير من العلماء مثل العالم جيمس ستيرلينج وكريستيان هينجز، وعمل ديموافر بالعمل على نظريات هؤلاء العلماء وتطويرها، وكان ديموافر شغوف بالعلم حيث أنه منذ صغره التحق بأكاديمية سومر وبعدها التحق بكلية تدعى دي هاركورت الكائنة في باريس، وظل ديموافر متواصلاً في دراسة الرياضيات، وقد كتب كتاب سماه مذهب الفرص الذي كان يتضمن نظرية الاحتمالات، اشتهر ديموافر بصيغة نظريته ديموافر بالإضافة إلى اشتهاره بالأعمال المرتبطة بالأعداد المركبة وحساب المثلثات.

نبذة عن حياة ديموافر

ولد ابراهام ديموافر في 26 مايو عام 1667 وولد في عائلة بروتستانتية، غادر فرنسا عندما كان عمره ثمانية عشر عاماً ثم عاش واستقر في لندن و بعد وقت قصير من وصوله إلى لندن حصل ديموافر على نسخة من كتاب العالم نيوتن وعمل على الاهتمام بنظرية نيوتن حتى غدا خبيراً في عمل نيوتن.

وتم انتخاب ديموافر في الجمعية الملكية عام 1697 وتم تعيينه في لجنة عام 1712 التي عملت على حسم المعركة بين نيوتن و وليبنيز وكانت المعركة بينهما من له الحق في ادعاء نفسه مخترع التفاضل والتكامل، وقد حكمت اللجنة لصالح نيوتن، ثم قدم ديموافر العديد من المساهمات في مجال الرياضيات وخاصة في نظرية الاحتمال والجبر وعلم المثلثات.

بقي العالم الفرنسي في إنجلترا وتوفي فيها في اليوم السابع والعشرون من نوفمبر عام 1754  وقد دفن في كنيسة تموضعت في منطقة ويست منستر، وبعدها بفترة تم نقل الجثمان من هذه الكنيسة إلى منطقة أخرى حسب ما صرحت به الكتب التاريخية،حيث أن الصحف قد تحدث عن نبأ وفاته حيث أنه تنبأ متى سيكون يوم وفاته وبقي يشعر في آخر حياته بالإرهاق الدائم لفترة وكان ينام فقط خمسة عشرة دقيقة في اليوم الواحد، وقد تنبأ أنه سيموت عندما يصل معدل نومه الإجمالي على مدار الأيام إلى أربع وعشرين ساعة، بمعنى أن مجموع الدقائق التي سينام بها في كل ليلة ستغدو أربع وعشرون ساعة أي يوم كامل حينها سيموت.[1]

صيغة ديموافر

تعتبر صيغة ديموافر بيان رياضي حيث أن لدينا أي رقم حقيقي ممثل بـX والصيغة هي:

(cos x + i sin x) ^ n = cos (nx) + i sin (nx)

حيث أن n هو عدد صحيح موجب  و i هو الجزء التخيلي و i = √ (-1) وافترض أيضاً أن i2 = -1 ، ويمكن إظهار النتيجة صحيحة عندما تكون n عدداً صحيحاً سالباً، وإن صيغة ديموافر تكون نتيجة مباشرة لصيغة أويلر والتي تكون بالشكل التالي:[3]

Exp (i=x)= cos(x)+ l sin(x)

استخدامات نظرية ديموافر وتطبيقاتها

إن لهذه النظرية استخدامات في مجال الرياضيات وتتجلى هذه التطبيقات في :

  • فإن هذه النظرية تطبق للبحث عن القوى النونية للأعداد التي تكون في الشكل المثلثي وتكون بالصيغة التالية:  Z^= r^(cos(nx)+l sin (nx) K، ونستطيع أيضاً الحصول على الأشكال المثلثية التالية cos(nx)و sin(nx) بدلالة sin(x) و cos(x).
  • وتستخدم نظرية ديموافر لتوقع عمر الشخص حيث أن ديموافر عمل على وضع إحصائيات تتعلق بالوفاة بعد أن تم الحصول عليها من بيانات المدينة، وهذه من أحد تطبيقات هذه النظرية حيث أنها تفيد في توقع وحساب عمر الفرد خاصة في حالة التأمين على حياته، فلعب دوراً رئيسياً في نشر فكرة التأمينات على الحياة بين الناس.
  • لهذه النظرية مكانة كبيرة في المدارس والجامعات حيث أنها تدرّس إلى يومنا هذا كجزء هام من مادة الرياضيات ويستفيد منها طلاب العلم بصورة كبيرة أثناء فترة تعليمهم.
  • تستخدم هذه النظرية لإيجاد جذور الأعداد المركبة.
  • وتطبق هذه النظرية للحصول على العلاقات بين قوى الدوال المثلثية والزوايا المثلثية.[2]

اثبات نظرية ديموافر

يستخدم الاستقراء الرياضي لإثبات هذه النظرية، و نعلم أن

(cos x + i sin x) n = cos (nx) + i sin (nx) … (i)

فإن لإثبات هذه المعادلة يجب أن نتبع:

  • الخطوة الأولى والتي تكون قيمة n=1 فهنا لدينا:

                                                       (cos x + i sin x)1 = cos(1x) + i sin(1x) = cos(x) + i sin(x)

  • الخطوة الثانية هو افتراض أن الصيغة الصحيحة لــ n=k

                                                                        (cos x + i sin x)k = cos(kx) + i sin(kx) ….(ii)

  • أما الخطوة الثالثة هي إثبات أن النتيجة صحيحة من أجل n=k+1

                                                    (cos x + i sin x)k+1 = (cos x + i sin x)k (cos x + i sin x)

                                                     = (cos (kx) + i sin (kx)) (cos x + i sin x) [Using (i)]

                                                     = cos (kx) cos x − sin(kx) sinx + i (sin(kx) cosx + cos(kx) sinx)

                                                    = cos {(k+1)x} + i sin {(k+1)x}

                                                    => (cos x + i sin x)k+1 = cos {(k+1)x} + i sin {(k+1)x}

نظرًا لأن النظرية صحيحة لـ n = 1 و n = k + 1 ، فهي صحيحة ∀ n ≥ 1.

تمارين على نظرية ديموافر

  • التمرين الأول :

إذا كان z = (cosθ + i sinθ ) ويظهر فيها   zn + 1/ zn = 2 cos nθ and zn – [1/ zn] = 2i sin 

  • الحل

z = (cosθ + i sinθ ) بحسب نظرية ديموافر 

zn = (cosθ + i sinθ )n = cos nθ + i sin nθ 

  • التمرين الثاني:

حل على طريقة نظرية ديموافر (1+ i)18

  • الحل

إذا كان 1+ i = (cosθ + sinθ ) فسنحصل على

  • التمرين الثالث 

مشكلة تقييم هذه  (2 + 2i)6

  • الحل

إذا كان  z = 2 + 2i

هنا تكون r قيمتها مساوية= 2√2 وحيث أن الدرجة تكون θ = 45

وبما أن z يقع في الربع الأول فإن الدالتين sinθ و cosθ تكون موجبتان .

وإن تطبيق نظرية ديموافر على هذا التمرين كما يلي

z6 = (2 + 2i)6 = (2√2)6 [cos 450 + i sin 450]6

= (2√2)6 [cos 2700 + i sin 2700]6

= – 512i

  • التمرين الرابع

عبر عن خمسة جذور لــ (√3 + i) وتكون هذه الجذور في صورة مثلثية

  • الحل

نعلم أن z = a + ib = r(cos x + i sin x)

حيث أن قيمة r تساوي r = \sqrt{a^2+b^2} and tan x = (b/a)

حيث أن rمساوي للعدد اثنان والزاوية تساوي ثلاثون درجة    r = 2 and θ = 30

وبالتالي تكون قيمة الــ z تساوي   z = 2[cos(300 + 3600 k) + i sin cos(300 + 3600 k)]

وإن تطبيق نظرية الجذر للجذر n تكون كما يلي

z1/5 = {2[cos(300 + 3600 k) + i sin cos(300 + 3600 k)]}1/5

= 21/5 [cos((300 + 3600 k)/5) + i sin cos((300 + 3600 k)/5)] …(1)

حيث أن قيمة k تكون   k = 0,1,2,3,4

k = 0; (1)=> z1 = 21/5 [cos 60 + i sin 60]

k = 1; (1)=> z1 = 21/5 [cos 780 + i sin 780]

k = 2; (1)=> z1 = 21/5 [cos 1500 + i sin 1500]

k = 3; (1)=> z1 = 21/5 [cos 2220 + i sin 2220]

k = 4; (1)=> z1 = 21/5 [cos 2940 + i sin 2940]

الوسوم

اترك تعليقاً

لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني. الحقول الإلزامية مشار إليها بـ *

زر الذهاب إلى الأعلى
إغلاق