ما هي المساحة في الرياضيات وقوانينها

كتابة: أميرة جادو آخر تحديث: 23 أبريل 2021 , 09:43

ما هي المساحة

تعرف بأنها قياس المنطقة المحاطة بإطار معين على سطح ما، وجميع أشكال المساحة مشتقة من مساحة الشكل المربع، وهي أبسط أشكال المساحة، حيث يتم حساب مساحة المربع عن طريق قياس المساحة الواقعة بين أربعة خطوط متساوية الطول، اثنان منها متوازيان والآخران متعامدان مع خطين متوازيين، وعندما يكون طول هذه الخطوط وحدة واحدة من الطول، تكون المساحة المحاطة بينهما وحدة مساحة واحدة، فإذا كان هناك مربع بطول متر واحد، فإن مساحته تكون مترًا مربعًا واحدًا.[1]

وصيغة المساحة والمحيط هما الصيغتان الرئيسيتان لأي شكل ثنائي الأبعاد في الرياضيات وفي الهندسة، ستصادف العديد من الأشكال مثل الدائرة، والمثلث، والمربع، وما إلى ذلك  في الحياة الواقعية أيضًا، ستصادف أنواعًا مختلفة من الكائنات ذات الأشكال والأحجام المختلفة، والتي تحتل بعض المساحة في المكان ومسافة المخطط التفصيلي الخاصة بهم تحدد الطول الإجمالي للكائن.

كل الأشكال لها خصائصها الخاصة، بناءً على هيكلها وجوانبها وزواياها، والسمتان الرئيسيتان هما المساحة والمحيط، على سبيل المثال، يتم حساب كمية الطلاء المطلوبة لطلاء جدار مستطيل الشكل من خلال مساحته ولإعداد حدود الحقل المربع علينا حساب محيطه لمعرفة الطول الإجمالي للحقل، كما أن لكل شكل هندسي له مساحته ومحيطه، فهناك صيغ مختلفة لمساحة ومحيط كل شكل حيث أن له قياسًا مختلفًا.

مساحة المربع

قانون مساحة المربع

يمكن معرفة المساحة على أنها مقدار المساحة التي يغطيها شكل ثنائي الأبعاد، وهناك العديد من القوانين التي يمكنك من خلالها إيجاد مساحة المربع، وهي:[1]

  • باستخدام طول أحدى الأضلاع: المساحة = (طول الضلع) ² ، يمكنك استبدال طول أي من الأضلاع الأربعة ، لأن أطوال المربعات متساوية ، وفي الرموز: م = س تربيع ؛ حيث:
    م= مساحة المربع.
  • س= طول ضلع المربع.
  • باستخدام طول قطر المربع، المساحة = 1/2 × مربع طول القطر، وفي الرموز م=1/2×ق²؛ حيث:
  • م= مساحة المربع.
  • ق= طول قطر المربع.

أمثلة على حساب مساحة المربع

المثال الأول : مربع طول ضلعين من أضلاعه 5سم، و 5سم، أوجد مساحته؟

 الحل : مساحة المربع = (طول الضلع)²؛ أي= الضلع×الضلع.

إذا مساحة المربع = 5×5= 25سم².

المثال الثاني: إذا كانت مساحة المربع 625م²، فما هو طول ضلع المربع؟

الحل:

  • مساحة المربع= طول الضلع×طول الضلع.
  • إذا: 625=(طول الضلع)²، وبأخذ الجذر التربيعي للطرفين.
  • فإن طول الضلع يساوي 25م.

المثال الثالث : جدار مربع طول ضلعه 75 م ما هي تكلفة تغطية هذا الشكل بالدهان إذا كانت تكلفة المتر الواحد ثلاث قطع نقدية؟

 الحل:

نظرًا لأن المساحة تساوي مقدار المساحة التي يغطيها الشكل، فيمكن العثور على الكمية المطلوبة من الطلاء لتغطية هذا الجدار بضرب مساحة المربع في تكلفة المتر الواحد، وبالتالي يمكن حل المشكلة على النحو التالي:

  • حساب مساحة المربع= (طول الضلع)²= 75م × 75م= 5,625م².
  • حساب تكلفة الدهان=مساحة المربع×التكلفة.
  • فإن تكلفة الدهان= 5625×3= 16,875 عملة نقدية.

المثال الرابع: ما هي مساحة المربع الذي طول احد أقطاره 10سم؟

 الحل: مساحة المربع = 1/2×مربع طول القطر=1/2×10²= 50سم².

مساحة المستطيل

قانون مساحة المستطيل

يمكن قياس مساحة المستطيل وفقًا لعدة قوانين اعتمادًا على حالات محددة، وهي معرفة الطول والعرض، يمكن حساب مساحة المستطيل باستخدام الصيغة البسيطة التالية:[1]

مساحة المستطيل=الطول×العرض، وبالرموز: م=أ×ب، حيث أن:

  • م= مساحة المستطيل.
  • أ= طول المستطيل.
  • ب= عرض المستطيل.

وعندما يُعرف القطر وأحد الأبعاد، يمكن حساب مساحة المستطيل باستخدام القانون التالي:

مساحة المستطيل= الطول أو العرض×الجذر التربيعي لـ (مربّع القطر- مربع الطول أو مربع العرض)، وبالرموز م=أ×(ق²-أ²)√، أو م=ب×(ق²-ب²)√، حيث:

  • م= مساحة المستطيل.
  • أ=  طول المستطيل.
  • ب= عرض المستطيل.
  •  ق= قطر المستطيل.

أمثلة على حساب مساحة المستطيل

المثال الأول، احسب مساحة مستطيل طوله 7 سم وعرضه 4 سم.

الحل بحسب القانون، م= الطول×العرض=7×4=28 سم².

المثال الثاني، إذا كانت مساحة إطار الصورة المستطيل 56 سم² وطوله 7 سم، فما عرضه؟

الحل بحسب القانون، م= الطول×العرض=7×العرض=56سم²، ومنه العرض=8سم.

المثال الثالث، إذا كان لديك أرضية مستطيلة بطول 50 مترًا وعرض 40 مترًا، فإن أحمد يريد تغطيتها ببلاط مستطيل بطول 2 متر وعرض متر واحد، لذا ابحث عن عدد البلاط الذي تحتاجه لتغطية الأرضية بالكامل.

الحل بحسب القانون:

  •  مساحة الأرضية=الطول×العرض=50×40=2000م².
  •  مساحة البلاطة الواحدة=الطول×العرض=2×1=2م².
  • عدد البلاط اللازم لتغطية الأرض=مساحة الأرضية/مساحة البلاطة الواحدة=2000/2=1000بلاطة.

في المثال الرابع، إذا كان طول المستطيل (2 × +1) ، وعرضه (2 × -1)،ومساحته 15 سم² ، فأوجد مقياسًا لأبعاده.

الحل بحسب القانون:

  • المساحة=الطول×العرض=(2س+1)×(2س-1)=15، 4س²-1=15، ومنه: س=2سم.
  • تعويض قيمة س لحساب الطول، حيث طول المستطيل: 2س+1= 2×2+1=5سم.
  •  تعويض قيمة س لحساب العرض، حيث عرض المستطيل: 2س-1= 2×2-1=3سم.

مساحة الدائرة

قانون مساحة الدائرة

يمكن تعريف الدائرة على أنها مجموعة من النقاط التي تقع على مسافة ثابتة من نقطة مركزية، والمعروفة باسم مركز الدائرة، والمسافة التي تربط هذه النقطة بأي نقطة عليها تسمى نصف القطر ويتم الإشارة إليها بواسطة الرمز (نق)، بالنسبة لقطر الدائرة ، فهو الوتر الذي يمر عبر مركز الدائرة ويشار إليه بالرمز (ق)، وطوله يساوي ضعف طول نصف القطر: ق= 2×نق، و عند قسمة محيط الدائرة على قطرها ، نحصل على الثابت العددي، والذي يُرمز إليه بالرمز (π)، ويساوي قيمته تقريبًا: 3.14 أو 22/7، وهي المساحة التي يشغلها جسم دائري على سطح مستوٍ ويمكن التعبير عنها بإحدى العلاقات الرياضية التالية:[2]

  • مساحة الدائرة = π×نصف القطر²، وبالرموز: م = π×نق².
  •  مساحة الدائرة=(π/4)×القطر²، وبالرموز: م = (π/4)×ق²؛ إذا عُرِف قطر الدائرة.
  • مساحة الدائرة=محيط الدائرة² /(4×π)، وبالرموز: م = ح²/(4×π)؛ إذا عُرِف محيط الدائرة.

أمثلة على مساحة الدائرة

المثال الأول، دائرة نصف قطرها 3 سم، ما مساحتها؟

الحل:

 أدخل قيمة نصف قطر تساوي نق=3سم في قانون مساحة الدائرة.

 مساحة الدائرة = π×نق² = 3.14×(3)² = 28.26سم².

المثال الثاني: دائرة قطرها 8 سم ، ما مساحتها؟

الحل:

  • أدخل قيمة نصف قطر تساوي ق=8 سم في قانون مساحة الدائرة.
  •  مساحة الدائرة = (π/4)×ق² =(3.14/4)×(8)² = 50.24سم².

كل قوانين الأشكال الهندسية

  • قانون مساحة المثلث = نصف طول قاعدة المثلث × ارتفاع المثلث = 1/2 × طول القاعدة × الارتفاع.
  • قانون مساحة متوازي الأضلاع = طول القاعدة × الارتفاع.
  •  قانون مساحة شبه المنحرف=نصف مجموع قاعدتي شبه المنحرف المتوازيتين × ارتفاع شبه المنحرف = 1/2 × مجموع طولي القاعدتين المتوازيتين × الارتفاع.
  • قانون مساحة الشكل البيضاوي (الإهليجي) = نصف قطر المحور الأكبر × نصف قطر المحور الأصغر×النسبة التقريبية ط = نق المحور الأكبر × نق المحور الأصغر × ط.
  • قانون مساحة المعين = طول قاعدة المعين × ارتفاع المعين.
  • قانون مساحة سطح المنشور=مجموع مساحات أوجه المنشور+مجموع مساحتي القاعدتَين.
  • قانون المساحة الجانبيّة للمنشور = محيط قاعدة المنشور × ارتفاع المنشور.
  • المساحة الجانبيّة للأسطوانة = محيط قاعدة الأسطوانة الدائريّة×ارتفاع الأسطوانة = 2 × نصف قطر الدائرة × ط ×الارتفاع = 2 نق ط × الارتفاع.
  • قانون المساحة الكليّة للأسطوانة = المساحة الجانبيّة + مجموع مساحتي القاعدتين = (2 نق ط × الارتفاع) +(2×نق²×ط) .
    قانون المساحة الجانبيّة للمخروط القائم = نصف قطر قاعدة المخروط × طول الراسم × النسبة التقريبية ط = نق×ل×ط.
  • قانون المساحة الكليّة للمخروط القائم = المساحة الجانبية + مساحة القاعدة = (نق×ل×ط) + نق²×ط.
  •  قانون المساحة الجانبيّة للهرم القائم = نصف محيط قاعدة الهرم × الارتفاع الجانبي للهرم = 1/2 × طول قاعدة المثلث × ارتفاع المثلث × عدد المثلثات.
  • قانون مساحة السداسيّ المنتظم = 3/2 × الجذر التربيعي للعدد 3 × (طول الضلع)²
  •  قانون مساحة سطح الكرة = 4 × مربع نصف قطر الدائرة × النسبة التقريبيّة ط = 4 نق²ط.
  • مساحة المكعب الجانبيّة = 4 × طول ضلع المكعب × طول ضلع المكعب = 4 × (طول الضلع)².
  • قانون مساحة المكعب الكليّة = 6 × طول ضلع المكعب × طول ضلع المكعب = 6 × (طول الضلع)².
  • قانون المساحة الجانبيّة لمتوازي المستطيلات = محيط القاعدة × الارتفاع.
  •  قانون المساحة الكليّة لمتوازي المستطيلات = المساحة الجانبيّة + مساحة قاعدتي المتوازيّ.
  • قانون مساحة سطح الشكل رباعيّ السطوح = الجذر التربيعيّ للعدد 3 × مربع طول الضلع = الجذر التربيعي للعدد 3 × (طول الضلع)².[1][2]
زر الذهاب إلى الأعلى
إغلاق