حساب مساحة و حجم الكرة

كتابة: هناء محمد آخر تحديث: 26 يونيو 2016 , 01:43

الكرة او الفلكة (Sphere ) في الهندسة الثلاثية عبارة عن سطح هندسي ثنائي تام التناظر يحدث نتيجة لدوران دائرة حول احد اقطارها , اما في الهندسة الاقليدية ثلاثية الابعاد فإن الكرة هى المحل الهندسي لمجموعة من النقاط التي تبعد بعد ثابت او البعد نفسه عن نقطة معينة في الفضاء هذا البعد يسمى نصف قطر و لا يمكن باي حال من الاحوال ان يكون الرقم سالب فهو موجب دائمًا و يمكن ان يأتي في شكل كسر بمختلف انواعه اذا ليس شرطًا ان يكون رقم صحيح , اما النقطة فتسمي مركز الكرة .

خواص الكرة .
تعتبر الكرة من الاشكال المألوفة في حياتنا مثل كرة القدم , كرة السلة , كرة التنس , المجسم الخاص بالكرة الارضية .
1- هناك نقطة داخلية في الكرة تسمى مركز الكرة .
2- جميع النقاط على سطح الكرة تبعد بعدًا متساوي عن مركز الكرة .
3- البعد بين اي نقطة على سطح الكرة و مركز الكرة هو نصف قطر الكرة .
4- القطعة المستقيمة التي تصل بين اي نقطتين متقابلتين على سطح الكرة و تمر بمركز الكرة هى قطر الكرة و مركز الكرة يمثل منتصفه .

حساب مساحة سطح الكرة .
يتم حساب مساحة سطح الكرة من خلال القانون التالي : –
مساحة سطح الكرة = 4 ط نق2 .
يعبر القانون عن مساحة الكرة تساوي اربعة اضعاف مساحة دائرة طول نصف قطرها يساوي طول نصف قطر الدائرة .
مثلا ( 1 ) : – احسب مساحة سطح كرة إذا كان نصف قطرها 5 سم .
الحل .
مساحة سطح الكرة = 4 ط نق2
مساحة سطح الكرة = 4 × 3.14 × ( 5 )2 = ( 4 × 25 ) × 3.14 = 100 × 3.14 = 314 سم2 .
مثال ( 2 ) : – احسب مساحة سطح كرة إذا كان قطرها يبلغ 14 سم .
الحل .
نق ( طول نصف قطر الكرة ) = 14\2 = 7 سم .
مساحة سطح الكرة = 4 ط نق 2
مساحة سطح الكرة = 4 × 22/7 × ( 7 )2 = 4 × 22\7 × 49 = 88 × 7 = 616 سم2 .
مثال ( 3 ) : – كرة تبلغ مساحة سطحها 1256 سم2 , اوجد طول نصف قطرها .
الحل .
مساحة سطح الكرة = 4ط نق2 .
1256 = 4 × 3.14 نق2 .
نق2 = 1256 \ ( 4 × 3.14 ) = 100 .
نق = الجذر التربيعي لـ100 = 10 سم .

حجم الكرة .
يتم حساب حجم الكرة من خلال القانون التالي : –
حجم الكرة = 4/3 ط نق3 .
مثال ( 4 ) : – احسب حجم كرة ، نصف قطرها 3 سم .
الحل .
حجم الكرة = 4/3 ط نق3
حجم الكرة = 4/3 × 3.14 × ( 3 )3 = 4\3 × 28.26 = 113 سم3 .
مثال ( 5 ) : – إذا كان لدينا كرة طول قطرها يساوي 12 سم، وكان المطلوب إيجاد مساحة سطحها وإيجاد الحجم .
الحل .
طول نصف قطر الكرة = 12\2 = 6 سم .
مساحة سطح الكرة = 4 ط نق2 .
مساحة سطح الكرة = 4 X 3.14 X ( 6 )2 = ( 4 X 36 ) X 3.14 = 144 X 3.14 = 452.16 سم2 .
حجم الكرة = 4/3 ط نق3 .
حجم الكرة = 4\3 X 3.14 X ( 6 )3 = 4\3 X 3.14 X 216 = 904.32 سم3 .
مثال ( 6 ) : – كرة يبلغ حجمها 4312\3 سم3 اوجد طول نصف قطرها .
الحل .
حجم الكرة = 4/3 ط نق3 .
4312\3 = 4\3 X 22\7 X نق3 .
نق3 = 4312 \3 X 3\4 X 7\22 = 4312 X 3 X 7 \ 3 X4 X 22 = 343 .
نق = الجذر التكعيبي لـ 343 = 7 سم .

في حال طلب منك حساب مساحة او حجم كرة دون ان تعطى طول نصف فطرها تظهر هنا المشكلة في الحياة الواقعية تستطيع اخذ الكرة و احضار سلسلة او حبل ذو طول يسمح بأن يلتف بالكامل على الكرة و و قم بلفه حول الكرة الى ان تلتقي حافتيه ثم تقوم بفرد الحبل او السلسة و بالمسطرة تقوم بقياس طوله و بذلك تحصل على محيط الكرة و بقسمة هذا المحيط على 2ط تحصل على نصف القطر , لكن لا تتم العملية بتلك البساطة اذ لا يكتفي بعملية قياس واحدة و انما يتم قياس محيط الدائرة بالطريقة السابقة ثلاث مرات ثم استخراج الوسيط لعمليات القياس و قسمته على 2ط و بذلك تحصل على القيمة المرجحة لطول نصف القطر .

ان الكرة مع باقي المجسمات الثلاثية الابعاد و الثنائية الابعاد تدخل في العديد من التطبيقات المهمة و خاصة التطبيقات الهندسية و يعتبر اقرب الاشكال الهندسية لها هو الشكل الثنائي الابعاد و الذي يسمى الدائرة و الذي يمكن حساب قيمتين له المحيط و المساحة او ما يقع داخل الدائرة كحال باقي الاشكال الثنائية البعد .

اترك تعليقاً

لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني. الحقول الإلزامية مشار إليها بـ *

زر الذهاب إلى الأعلى
إغلاق