تعريف العدد النيبيري

كتابة دينا محمود آخر تحديث: 27 مايو 2020 , 22:02

العدد e  أو العدد النيبيري هو ثابت رياضي يساوي تقريبًا 2.71828 وهو أساس اللوغاريتم الطبيعي ، الرقم الفريد الذي يساوي لوغاريتمه الطبيعي واحدًا هذا هو الحد من (1 + 1 / n )  وهو التعبير الذي يطرح نفسه في دراسة الفائدة المركبة ، يمكن أيضًا حسابه على أنه مجموع السلسلة اللانهائية.

ما هو العدد النيبيري 

 هو ثابت عددي يحدث عندما يتم تقسيم محيط الدائرة حسب قطرها ، تم العثور على قيمة العدد النيبيري في العديد من الصيغ الرياضية مثل تلك التي تصف زيادة أو نقصًا غير خطي مثل النمو أو الاضمحلال بما في ذلك الفائدة المركبة أو منحنى الجرس الإحصائي ، على شكل كابل معلق أو قوس قائم.

 ويظهر العدد النيبيري أيضًا في بعض مشاكل الاحتمال ، وبعض مشاكل العد ، وحتى دراسة توزيع الأعداد الأولية ، في مجال التقييم غير المدمر يوجد في صيغ مثل تلك المستخدمة لوصف التوهين بالموجات فوق الصوتية في المادة ، تتحلل طاقة الصوت عندما تتحرك بعيدًا عن مصدر الصوت بعامل نسبي للعدد النيبيري.

تبلغ قيمتها تقريبًا 2.718 وقد تم حسابها إلى 869،894،101 منزل عشري بواسطة Sebastian Wedeniwski ، تمت دراسة هذا الرقم لأول مرة من قبل عالم الرياضيات السويسري ليونارد أويلر في عشرينيات القرن التاسع عشر ، على الرغم من وجوده بشكل أو بآخر في عمل جون نابير ، مخترع اللوغاريتمات ، في عام 1614 ،  وكان أويلر أيضًا أول من استخدم الحرف e من أجل في عام 1727 حقيقة أن الحرف الأول من لقبه من قبيل الصدفة ونتيجة لذلك ، يُطلق على e أحيانًا رقم أويلر أو رقم أويلريان أو ثابت النبيبيري ، ولقد أثبت أويلر أن “e” هو رقم غير منطقي ، لذلك لا ينتهي توسعة العشري أبدًا.[1]

تاريخ العدد نيبيري

تم نشر الإشارات الأولى للثابت في عام 1618 في جدول ملحق عمل عن اللوغاريتمات بواسطة جون نابير ، مع ذلك لم يحتوي هذا على الثابت نفسه ، ولكن ببساطة قائمة باللوغاريتمات المحسوبة من الثابت ، من المفترض أن الجدول كتبه ويليام أووتريد ، يرجع الفضل في اكتشاف الثابت نفسه إلى يعقوب برنولي في عام 1683 الذي حاول العثور على قيمة e.

كان أول استخدام معروف للثابت ، الذي يمثله الحرف b ، في المراسلات من جوتفريد ليبنيز إلى كريستيان هيجنز في 1690 و 1691 ، قدم ليونارد أويلر الحرف e كقاعدة للوغاريتمات الطبيعية ، وكتب في رسالة إلى كريستيان غولدباخ في 25 نوفمبر 1731، التي يولر استخدام الرسالة الإلكترونية لثابت في عام 1727 أو 1728، في ورقة غير منشورة على قوات المتفجرة في المدافع  وأول ظهور له كان في منشور في أويلر ميكانيكا (1736).

بينما استخدم بعض الباحثين الحرف c في السنوات اللاحقة ، كان الحرف e أكثر شيوعًا وأصبح قياسيًا في النهاية. 

المعيار في الرياضيات هو كتابة الثابت كـ ” e ” بخط مائل ، و ISO 80000-2 يوصي مستوى 2009 التنضيد الثوابت بأسلوب تستقيمة، ولكن هذا لم يتم التصديق عليها من قبل المجتمع العلمي.

تطبيقات على العدد النيبيري

الفائدة المركبة

اكتشف جاكوب برنولي هذا الثابت في عام 1683 من خلال دراسة سؤال حول الفائدة المركبة:

الحساب بمبلغ 1.00 دولار أمريكي ويدفع فائدة بنسبة 100٪ سنويًا. إذا تم إضافة الفائدة مرة واحدة ، في نهاية العام ، ستكون قيمة الحساب في نهاية العام 2.00 دولارًا ، ماذا يحدث إذا تم احتساب الفائدة وقيدها بشكل متكرر خلال العام؟

إذا تم إضافة الفائدة مرتين في السنة ، فسيكون معدل الفائدة لكل 6 أشهر 50٪ ، لذلك يتم ضرب $ 1 الأولي في 1.5 مرتين ، مما يؤدي إلى 1.00 دولار × 1.5 2 = $ 2.25 في نهاية العام. العائد ربع السنوي المركب $ 1.00 × 1.25 4 = $ 2.4414 ، والعائد الشهري المركب $ 1.00 × (1 + 1/12) 12 = $ 2.613035 ، إذا كان هناك n فواصل مركبة ، ستكون الفائدة لكل فاصل زمني 100٪ / n وتكون القيمة عند ستكون نهاية السنة 1.00 دولار × (1 + 1 / n ) n .

لاحظ برنولي أن هذا التسلسل يقترب من حد  قوة الفائدة  مع n أكبر وبالتالي فواصل مركبة أصغر ، ينتج عن التركيب الأسبوعي ( n = 52 ) $ 2.692597 … ، بينما ينتج عن المركب اليومي ( n = 365 ) $ 2.714567 … ، سنتان أكثر ، الحد الذي يكبر فيه n هو العدد الذي أصبح يعرف باسم e مع التركيب المستمر ، ستصل قيمة الحساب إلى $ 2.7182818.

محاكمة برنولي

يحتوي الرقم e نفسه أيضًا على تطبيقات لنظرية الاحتمالات ، حيث ينشأ بطريقة لا ترتبط بشكل واضح بالنمو الأسي. 

افترض أن مقامر يلعب آلة سلوت تدفع لاحتمال واحد في n ويلعبها n مرات ، بعد ذلك ، بالنسبة إلى n الكبيرة (مثل مليون) ، فإن احتمال خسارة المقامر لكل رهان هو 1 / e تقريبًا ، بالنسبة إلى n = 20 ، فهي بالفعل تقريبًا 1 / 2.79.

هذا مثال على عملية محاكمة برنولي ، في كل مرة يلعب فيها المقامر الفتحات ، هناك فرصة واحدة في المليون للفوز ، لعب واحدة مليون مرة على غرار قبل توزيع ذي الحدين ، والذي يرتبط ارتباطا وثيقا نظرية ذات الحدين و مثلث باسكال ، احتمال فوز K مرة من مليون تجربة.

التشويش   

هناك تطبيق آخر لنيبيري ، اكتشفه جزئيًا جاكوب برنولي جنبًا إلى جنب مع بيير ريموند دي مونتمورت ، في مشكلة التشوش ، والمعروف أيضًا باسم مشكلة فحص القبعة n مدعوون إلى الحفلة ، وعند الباب ، يقوم جميع الضيوف بفحص القبعات الخاصة بهم مع الخادم الشخصي ، الذي بدوره يضع القبعات في مربعات n ، كل منها مكتوب باسم ضيف واحد لكن الخدم لم يسأل عن هوية الضيوف ، ولذلك وضع القبعات في صناديق مختارة عشوائياً ، مشكلة دي مونتمورت هي العثور على احتمال عدم وضع أي من القبعات في المربع الصحيح. الجواب هو:

بينما يميل عدد n من الضيوف إلى ما لا نهاية ، تقترب p n من 1 / e  علاوة على ذلك ، فإن عدد الطرق التي يمكن بها وضع القبعات في المربعات بحيث لا يوجد أي من القبعات في المربع الأيمن هو n ! / e تقريبًا إلى أقرب عدد صحيح ، لكل تكون n موجب.

استخدامات  العدد النيبيري في الرياضيات

يظهر العدد النيبيري  أو العدد e في الرياضيات ، إليك بعض الأماكن التي تظهر فيها:

  • إنه أساس اللوغاريتم الطبيعي ، منذ أن اخترع نابير اللوغاريتمات يشار إلى e أحيانًا باسم ثابت نيبري.
  • في حساب التفاضل والتكامل ، تكون الدالة الأسية e x لها خاصية فريدة لكونها مشتقة خاصة بها.
  • تتحد التعبيرات التي تشتمل على e x و e -x لتشكيل وظائف جيب الزاوية الزائدي وجيب التمام الزائدي.
  • بفضل عمل أويلر ، نعلم أن الثوابت الأساسية للرياضيات مترابطة بمعادلة e iΠ + 1 = 0 ، حيث i هو الرقم التخيلي وهو الجذر التربيعي للسالب السالب.
  • يظهر الرقم e في صيغ مختلفة طوال الرياضيات ، وخاصة في مجال نظرية الأعداد.

قيمة  العدد النيبيري في الإحصاء 

لا يقتصر أهمية الرقم النيبيري على مجالات قليلة في الرياضيات ، هناك أيضًا عدة استخدامات للرقم e في الإحصائيات والاحتمال ، ومن أهمها:

  • يظهر الرقم e في صيغة دالة غاما.
  • الصيغ لل وزيع الطبيعي القياسي ينطوي العدد النيبيري إلى قوة سلبية ، وتتضمن هذه الصيغة أيضًا pi.
  • تتضمن العديد من التوزيعات الأخرى استخدام الرقم e ، على سبيل المثال ، تحتوي الصيغ الخاصة بتوزيع t ، وتوزيع غاما ، وتوزيع مربع كاي على الرقم e.]2[
زر الذهاب إلى الأعلى
إغلاق