تعريف المتباينات وانواعها

كتابة Judy Mallah آخر تحديث: 24 سبتمبر 2020 , 15:07

المتباينة في الرياضيات هي بيان لعلاقة ترتيب أكبر من  أو يساوي  أو أقل من أو يساوي، بين رقمين أو تعبيرات جبرية ، يمكن أن تطرح المتباينة كأسئلة، مثل المعادلات الرياضية، أو أن تحل من خلال تقنيات مشابهة، أو كبيانات واقعية على شكل نظريات ، على سبيل المثال ، تنص متباينة المثلث على أن مجموع أطوال أي ضلع من أضلاع المثلث يكون أكبر من أو يساوي طول الضلع المتبقي ، يعتمد هذا التحليل الرياضي على العديد من المتباينات، مثل متباينة  كوشي-شوارتز [1]

مفهوم المتباينات

إن المتباينات والدوال والمعادلات هي عبارة عن جمل رياضية  ، وتنقسم أنواعها إلى متباينات خطية ومتباينات مركبة ، يتم حلها من خلال تشكيل وربط تعبيرين مع بعضهم البعض ، في المتباينة، يمكن اعتبار التعبيرين متساويين عندما تظهر إشارة =

  • س = ص، هذا يعني أن: س يساوي ص .

حيث كما هو الحال في المتباينة ، لا يكون التعبيران متساويين بالضرورة وهو ما يشار إليه بالرموز:> أو <أو ≤ أو ≥.

  • س> ص: هذا يعني أن س أكبر من ص .
  • س≥ص: هذا يعني أن س أكبر أو تساوي ص .
  • س <ص: هذا يعني أن س أصغر من ص .
  • س≤ص: هذا يعني ان س اصغر أو تساوي ص .

المعادلة أو متباينة التي تحوي على الأقل متغير واحد تعتبر جملة مفتوحة ، عندما يتم استبدال رقم بالمتغير في جملة مفتوحة، تكون الجملة الناتجة إما صحيحة أو خاطئة ، وإذا كانت العبارة صحيحة، فإن الرقم هو حل للمعادلة أو المتباينة .

شرح حل المتباينات

  • هل 3 هو حل للمعادلة؟ 5 س + 14 = 24، عوّض 3 من أجل س، يصبح الناتج 5⋅3 + 14، 15 + 14 = 29 وهذا لا يساوي 24 وبالتالي خاطئة، لأن 29 لا يساوي 24، بالتالي 3 لا يعتبر حلًا لهذه المتباينة .

هل المتباينة التالية صحيحة أم خاطئة ؟

  • س − 4> 12 ، س = 13 .

13−4> 12: هذه المتباينة خاطئة .

  • 13−4 + 4> 12 + 4 .

13> 16 → هذه المتباينة خاطئة

  • ص + 5 <13 ، ص = 6 .

6 + 5 <13 هذه المتباينة صحيحة

  • 6 + 5−5 <13−5 .

6 <8 → هذه المتباينة صحيحة. [2]

بحث عن المتباينات والدوال

عند حل المتباينات، وإجراء بحث عن الدوال والمتباينات، استنتج العلماء بعض الأمور، إذا قمنا في المعادلة التالية ص= س+7بتعيين قيمة لـ س، فستعطينا المعادلة قيمة لـ ص.

  • مثال: ص= س+7، وإن افترضنا أن س=2، فهذا يعني أن ص= 2+7 =9 .

إذا كان لدينا قيمة مختلفة ل س، فإن المعادلة سوف تعطينا قيمة مختلفة ل ص، ومن الممكن أن يقوم الشخص بتخصيص قيمة ص، وحل المعادلة لإيجاد القيمة المطابقة ل س .

في المعادلة س+7= ص، وفي المتباينة لدى الشخص متغيرين هما س وص ، المتغير الذي يخصص له الشخص القيمة يدعى المتغير المستقل، والمتغير الآخر هو المتغير التابع، وتعتمد قيمته على قيمة المتغير المستقل ، في المثال السابق، س يشكل المتغير المستقل بينما يشكل ص المتغير التابع .

أما الدالة فهي معادلة يتم فيها تخصيص معادلة واحدة لها إجابة واحدة فقط لكل س ولكل ص ، الدالة تعني تعيين تخرج واحد فقط لكل مدخل ، ومن الشائع أن تسمى الدالة ببعض الأسماء وهي إما (f) (x) أو (g) (x) بدلاً من y، تعني f )2) أنه يجب علينا إيجاد قيمة الدالة عندما يكون x يساوي 2.

مثال على المعادلة التالية

  • f )x)= س + 7، إن كانت قيمة س =2 عندها يمكن حساب الدالة، وتكون النتيجة (2) = 2 + 7 = 9، تكون الوظيفة خطية إذا كان يمكن تعريفها بواسطة العلاقة التالية f )x)= م س+ ب و f )x) هي قيمة الوظيفة .
  • معادلة مثل y = x + 7 خطية وهناك عدد لا حصر له من الأزواج المرتبة من x و y التي تحقق المعادلة. ويمكن تمثيلها بيانيا، حيث يمكن رسم الميل، وإن كان الميل سالبا، هذا يعني ان قيمة الدالة تتناقص بزيادة قيمة x والعكس صحيح إذا كان لدى الشخص ميل موجب [3]

أمثلة على المتباينات

  • مثال من أجل حل س، يمكن التحقق من س+5=3، لحل هذه المتباينة يمكن اللجوء إلى العديد من الأمور للوصول إلى الحل، يمكن اتباع إجراء طرح 5 من كل جانب من أجل الحصول على المعادلة، فتصبح س+5-5= 3-5، فتكون الإجابة س= -2
  • مثال ثاني: حل المتباينة س وتحقق من -3س= 12، الحل يكون من خلال تقسيم كلا الطرفين على 3 (-3س÷-3) =(12÷-3) فنحصل على الإجابة وهي س= -4، يمكن أن نتحقق من الإجابة فتكون -3س=12، (-3×-4) =12، والإجابة متطابقة لأن 12=12.

ملاحظة: يجب دائما التحقق من المعادلة الأصلية

  • حل من أجل س وتحقق: 3س-4= 7س+8.

الحل يكون 3س-4=7س+8 ، نقوم بترتيب أطراف المعادلة فتصبح 3س -4+4= 7س+ 8+4 :

 هذا يؤدي 3س= 7س+12، وتكون النتيجة 3س-7س= 7 س-7س+12، ونحصل على -4س=12، ونقوم بتقسيم كلا الطرفين على أربعة (-4س÷4)= (12÷-4)، فنحصل على النتيجة س=-3، نتحقق من خلال 3س-4= 7س=8، نقوم بتعويض كل س بالرقم -3، فنحصل على 3×(-3) -4= 7× (-3) +8، فنحصل على -9-4= -21+8، والإجابة تكون متطابقة لأن -13= -13، وبالتالي الحل يكون صحيحًا .

  • يمكن حل المتباينة بطريقة أخرى وهي 3س-4= 7س+8 ويمكن طرح 3س من كلا الطرفين لتصبح المتباينة كالتالي -4=4س+8، ويمكن فيما بعد طرح 8 من كلا طرفي المتباينة لتصبح المتباينة كالتالي -12=4س، ويمكن الآن تقسيم كلا الطرفين على 4 ونحصل على -3= س أو س= -3

المعادلات الحرفية

من خلال تطبيق القواعد التي تعلمها الشخص مسبقًا يمكن حل المعادلات الحرفية، تسمى المعادلات التي تحوي أكثر من حرف وأكثر من مجهول بالمعادلات الحرفية، وأحيانًا يكون من الضروري حل إحدى الحروف من أجل التوصل إلى حل آخر، وفي بعض الأحيان يمكن أن يتغير شكل الجواب .

  • مثال على المعادلة الحرفية هي 3س+ 3ج -4ص= 2س-5ج .

المتباينات في الرسوم البيانية

يمكن استخدام رمز المتباينة لتمثيل المواضع النسبية لرقمين على خط الأعداد ، وإن اتقان وفهم المتباينات ينطوي على الكثير من الفوائد بسبب أهمية الدوال المثلثية في حياتنا  ، ورسم المتباينات على خط الأعداد.

هناك مجموعة من الأرقام المنطقية مثل تلك التي يمكن التعبير عنها كنسبة من عددين صحيحين ، هناك أيضًا مجموعة من الأرقام تسمى الأعداد غير المنطقية ، والتي لا يمكن التعبير عنها كنسبة للأعداد الصحيحة ، تتضمن هذه المجموعة أرقامًا مثل وهكذا ، المجموعة المكونة من الأعداد المنطقية وغير المنطقية تسمى الأعداد الحقيقية.

بالنظر إلى أي رقمين حقيقيين أ وب ، فمن الممكن دائمًا أن نذكر أننا في كثير من الأحيان نهتم فقط بما إذا كان رقمان متساويان أم لا ، ولكن هناك حالات نرغب فيها أيضًا في تمثيل الحجم النسبي للأرقام غير المتساوية .

الرموز <و> هي رموز عدم مساواة أو علاقات ترتيب وتستخدم لإظهار الأحجام النسبية لقيم رقمين ،  نقرأ عادة الرمز <على أنه “أقل من” ، على سبيل المثال ، تتم قراءة a <b على أنها “a أقل من b” ، نقرأ عادة الرمز> على أنه “أكبر من”.

على سبيل المثال ، تتم قراءة أ> ب على أنها “أ أكبر من ب” ، لاحظ أننا ذكرنا أننا نقرأ عادةً أ <ب لأن أ أقل من ب ، لكن هذا فقط لأننا نقرأ من اليسار إلى اليمين ، بعبارة أخرى ، “أ أصغر من ب”  ، هي نفس قول “ب أكبر من أ”.

في الواقع إذن ، لدينا رمز واحد مكتوب بطريقتين فقط لتسهيل القراءة ، إحدى الطرق لتذكر معنى الرمز هي أن النهاية المدببة تكون باتجاه الأصغر من الرقمين ، يمكن قراءة العبارة 2 <5 على أنها “اثنان أقل من خمسة” أو “خمسة أكبر من اثنين”.

a <b، “a أقل من  b وفقط إذا كان هناك رقم موجب c يمكن إضافته إلى a لإعطاء a + c = b ، بعبارات أبسط هذه المتباينة تدفع الشخص ليفكر بالعدد الذي يمكن إضافته من أجل تحقيق المساواة . [4]

زر الذهاب إلى الأعلى
إغلاق