ما هي الدوال الاسية بالامثلة

كتابة: Yasmin najib آخر تحديث: 11 نوفمبر 2020 , 13:15

شرح الدالة الاسية

  • يتم تعريف الدالة الأسية على أنها دالة ذات ثابت موجب بخلاف 1 مرفوع إلى الأس المتغير.
  • يتم تقييم الوظيفة من خلال حل قيمة إدخال محددة.
  • يمكن العثور على نموذج أسي عند معرفة معدل النمو و القيمة الأولية.
  • يمكن العثور على نموذج أسي عند معرفة نقطتي بيانات من النموذج.
  • يمكن العثور على نموذج أسي باستخدام نقطتي بيانات من الرسم البياني للنموذج.
  • يمكن حساب قيمة الحساب في أي وقت t باستخدام معادلة الفائدة المركبة عند معرفة معدل الفائدة الأساسي و السنوى و الفترات المركبة.
  • يمكن العثور على الاستثمار الأولي للحساب باستخدام صيغة الفائدة المركبة عندما تكون قيمة الحساب و معدل الفائدة السنوي والفترات المركبة وعمر الحساب معروفة.
  • الرقم e هو ثابت رياضي غالبًا ما يستخدم كقاعدة لنماذج النمو و التسوس الأسي في العالم الحقيقي، التقريب العشري لها هو e≈2.718282
  • نماذج النمو المستمر أو التسوس هي نماذج أسية تستخدم البريد كقاعدة.
  • يمكن العثور على نماذج النمو والانحلال المستمر عند معرفة القيمة الأولية ومعدل النمو أو الاضمحلال او عند بحث عن الدوال والمتباينات.[1]

امثلة على الدوال الاسية

بالإضافة إلى الدوال الخطية و التربيعية و العقلانية و الجذرية و المعادلات الجبرية ، هناك دوال أسية، الدوال الأسية لها شكل  f(x) = bx ، حيث b > 0 و b ≠ 1 ، كما هو الحال في أي تعبير أسي، b يسمى قاعدة و x العدد الحقيقي

  • مثال على الوظيفة الأسية هو نمو البكتيريا: تتضاعف بعض البكتيريا كل ساعة، إذا بدأت ببكتيريا واحدة و تضاعفت كل ساعة ، سيكون لديك 2 × بكتيريا بعد × ساعة، يمكن كتابة هذا  f ( x ) = 2 x .

قبل أن تبدأ ،               f(0) = 2= 1

بعد ساعة واحدة          f(1) = 21 = 2

في ساعتين              f(2) = 22 = 4

في 3 ساعات            f(3) = 23 = 8

و هكذا.

  •  مثال عن التسوس الاسي هو العنصر المشع: السيزيوم 137 عنصر مشع يستخدم في التطبيقات الطبية، عمر النصف حوالي 30 سنة، افترض أن المختبر يحتوي على 10 جرام من السيزيوم 137، إذا لم يستخدموه ، فكم من الوقت سيبقى السيزيوم 137 في 60 عامًا؟

R: هذه هي القيمة المتبقية ، ما تحاول العثور عليه.

A: الكمية الأولية كانت 10 جرام.

H: نصف العمر 30 سنة.

t: مقدار الوقت المنقضي 60 عامًا. (لاحظ أن هذا في نفس الوحدة ، السنوات ، مثل نصف العمر.)

حدد القيم المعروفة في الصيغة.

الاجابة:

استخدم الصيغة 

سيكون هناك 2.5 جرام من السيزيوم 137 في 60 عامًا

  • مثال عن الدالة الأسية للثابت الطبيعي e هو الكثافة السكانية: يبلغ عدد سكان المدينة 4 ملايين ، فما هو عدد سكان المدينة بعد ست سنوات إذا كان معدل النمو السكاني السنوي 2.5٪؟

نكتب المعادلة التالية: (N = 4. Exp(0,025.6

و النتيجة: مليون نسمة N = 4,647 بعد 6 سنوات[2]

تكامل الدوال الاسية

ربما تكون الوظيفة الأسية هي الأكثر كفاءة من حيث عمليات حساب التفاضل و التكامل، الدالة الأسية ، \ (y = e ^ x \) ، مشتق منها و متكامل.
يمكن دمج الدوال الأسية باستخدام الصيغ التالية:

\ [∫e ^ x \، dx = e ^ x + C \)

\ [∫a ^ x \، dx = \ dfrac {a ^ x} {\ ln a} + C \]

ان الخطأ الشائع عند التعامل مع التعبيرات الأسية هو معاملة الأس في \ (e \) بنفس الطريقة التي نتعامل بها مع الأس في التعبيرات متعددة الحدود، اذ لا يمكننا استخدام قاعدة الأس للأس في \ (e \)، قد يكون هذا مربك بشكل خاص عندما يكون لدينا كل من الأسي و متعدد الحدود في نفس التعبير

كما في نقطة التفتيش السابقة، في هذه الحالات ، يجب علينا دائمًا التحقق بعناية للتأكد من أننا نستخدم القواعد الصحيحة للوظائف التي ندمجها.

مثال :أوجد المشتقة العكسية للدالة الأسية \ (e ^ {- x} \).

الحل:

استخدم الاستبدال و الإعداد \ (u = −x، \) ثم \ (du = −1 \، dx \). اضرب معادلة \ (du \) في \ (- 1 \) ، بحيث يكون لديك الآن \ (- du = \، dx \). ثم،

\ [∫e ^ {- x} \، dx = −∫e ^ u \، du = −e ^ u + C = −e ^ {- x} + C. \ no number \)

.[3]

تفاضل الدوال الاسية و اللوغاريتمية

أكثر الدوال الأسية و اللوغاريتمية شيوعًا في دورة حساب التفاضل و التكامل هي الدالة الأسية الطبيعية \ ({{\ bf {e}} ^ x} \) ، ودالة اللوغاريتم الطبيعي ، \ (\ ln \ left (x \ right) \).

يمكننا إيجاد مشتقات الدوال الأسية و الدوال اللوغاريتمية باستخدام الصيغ، اذ يتم استخدامات اللوغاريتمات في الطب، بينما نقوم بتطوير هذه الصيغ ، نحتاج إلى وضع افتراضات أساسية معينة

نبدأ بافتراض أن الدالة B (x) = bx ، b> 0 ، معرفة لكل رقم حقيقي وأنها متصلة، تم تحديد قيم الدوال الأسية لجميع الأعداد المنطقية ، بدءًا من تعريف bn ، حيث n هي عدد صحيح موجب، كحاصل ضرب b في نفسه n مرة. في وقت لاحق ، حددنا b0 = 1 ، b − n = 1bn ، لعدد صحيح موجب n ، و bs / t = (bt) s للأعداد الصحيحة الموجبة s و t

تترك هذه التعريفات مسألة قيمة br حيث r هو رقم حقيقي تعسفي، بافتراض استمرارية B (x) = bx ، b> 0 ، يمكننا تفسير br على أنه limx → rbx حيث تكون قيم x عندما نأخذ النهاية منطقية

[4]….43 <4π <44،43.1 <4π <43.2،43.14 <4π <43.15،43.141 <4π <43.142،43.1415 <4π <43.1416

مقارنة بين الدالة الاسية و اللوغارتمية

الدالات هي واحدة من أهم فئات الأشياء الرياضية ، و التي تستخدم على نطاق واسع في جميع المجالات الفرعية للرياضيات تقريبًا، اذ تشير أسمائهم أيضًا إلى أن كلا من الوظيفة الأسية و الوظيفة اللوغاريتمية هي وظائف خاصة.

الوظيفة هي علاقة بين مجموعتين محددتين بطريقة تجعل القيمة التي تتوافق معها في المجموعة الثانية فريدة لكل عنصر في المجموعة الأولى، اسمح أن تكون وظيفة محددة للمجموعة A في المجموعة B، ثم لكل x ϵ A ، يشير الرمز (ƒ (x إلى القيمة الفريدة في المجموعة B التي تتوافق مع x، و تسمى الصورة x الموجودة أسفل ƒ.

لذلك ، فإن العلاقة ƒ من A إلى B هي دالة ، إذا وفقط إذا ، لكل x ϵ A و y ϵ A ، إذا كانت x = y فإن (ƒ (x) = (y تسمى المجموعة A مجال الوظيفة ƒ ، وهي المجموعة التي يتم فيها تعريف الوظيفة.

ما هو الفرق بين الدالة الأسية والدالة اللوغاريتمية؟

  • يتم إعطاء الدالة الأسية بواسطة ƒ (x) = e x ، بينما تعطى الدالة اللوغاريتمية بواسطة g (x) = ln x ، والأولى هي عكس الأخير.
  • مجال الدالة الأسية هو مجموعة من الأرقام الحقيقية ، و لكن مجال الدالة اللوغاريتمية هو مجموعة من الأرقام الحقيقية الموجبة.
  • نطاق الدالة الأسية عبارة عن مجموعة من الأرقام الحقيقية الموجبة ، لكن نطاق الدالة اللوغاريتمية هو مجموعة من الأرقام الحقيقية والتي تدخل ضمن خصائص اللوغاريتمات

فالدالة اللوغاريتمية هي معكوس الدالة الأسية، نظرًا لأن الوظيفة الأسية هي واحد إلى واحد وأكثر من R + ، يمكن تعريف الوظيفة g من مجموعة الأرقام الحقيقية الموجبة في مجموعة الأرقام الحقيقية المعطاة بواسطة g (y) = x ، إذا وفقط إذا ، y = e x . هذه الدالة g تسمى الوظيفة اللوغاريتمية

أو بشكل أكثر شيوعًا هي اللوغاريتم الطبيعي. يتم الإشارة إليها بواسطة g (x) = log e x = ln x. نظرًا لأنه معكوس دالة أسية ، إذا أخذنا الرسم البياني للدالة الأسية معكوسًا على الخط y = x ، فسنحصل على التمثيل البياني للدالة اللوغاريتمية.[5]

زر الذهاب إلى الأعلى
إغلاق