قانون حجم الكرة بالتفصيل

كتابة: شيرين السيد آخر تحديث: 18 ديسمبر 2020 , 23:51

تعريف الكرة

تُعرَّف الكرة بأنها جسم هندسي دائري تمامًا في مساحة ثلاثية الأبعاد مثل الكرة المستديرة ، وهي مجموعة من النقاط التي تكون على مسافة متساوية من نقطة في الفضاء ، وتُسمى المسافة بين النقطة الخارجية ومركز الكرة بنصف القطر ، ويُشار إليها بالرمز r ، وتُعرف المسافة القصوى المستقيمة بين أي جانبين من الكرة عبر المركز بالقطر ، ويُشار إليه بالرمز d ، فيما يلي سوف نتعرف عن قانون حجم الكرة واثبات قانون حجم الكرة بالتكامل 

قانون حجم الكرة 

يمكن حساب مساحة وحجم الكرة من خلال التعرف علي معادلة الكرة :

معادلة الكرة

تُعطى معادلة دائرة نصف القطر r بالصيغة التالية:

س 2 + ص 2 = ص 2

ويمكنك ربطها بالطريقة الجبرية لبدء نظرية فيثاغورس.

النقطة (س ، ص) تقع على الدائرة فقط عندما يكون للمثلث الأيمن جوانب طول | س | و | ذ | ووتر طول r ، ويمكن كتابته على النحو التالي:

س 2 + ص 2 = ص 2

يمكن استخدام نظرية فيثاغورس مرتين في معادلة الكرة ، O هي الأصل و P) x ، y ، z ) هي نقطة في ثلاثة مسافات ، تقع P على كرة نصف قطرها r فقط عندما تكون المسافة من O إلى P هي r.

بما أن OAB مثلث قائم الزاوية ، x 2 + y 2 = s 2  ، المثلث OBP هو مثلث آخر قائم الزاوية ، وبالتالي ، s 2 + z 2 = r 2 ، وبالتالي يمكن التعبير عن المسافة بين O و P من خلال:

x 2 + y 2 + z 2 = | OP | 2

ومن ثم ، يمكننا أن نستنتج أن (x ، y ، z) تقع على الكرة بنصف قطر r فقط إذا ، س 2 + ص 2 + ع 2 = ص 2 والتي تسمى معادلة الكرة.

إذا كان (a ، b ، c) هو مركز الكرة ، و r يمثل نصف القطر ، و x ، و y ، و z هي إحداثيات النقاط الموجودة على سطح الكرة ، فإن المعادلة العامة للكرة هي (x – أ) ² + (ص – ب) ² + (ض – ج) ² = ص²

قانون حجم الكرة

يُعرف حجم الكرة بمقدار المساحة التي يشغلها كائن ثلاثي الأبعاد يسمى الجسم الكروي بحجم الكرة . 

تُعطى صيغة حساب حجم الكرة بواسطة المعادلة: حجم الكرة = 43π ص3

و ص هو نصف قطر الكرة.

قانون مساحة سطح الكرة

مساحة سطح الكرة هي المساحة الإجمالية التي يغطيها سطح الكرة في مساحة ثلاثية الأبعاد ، ويتم إعطاء صيغة السطح من خلال:

تُعطى صيغة حساب مساحة سطح الكرة بواسطة:

مساحة سطح الكرة = 4 πص2  وحدات مربعة.[1]

أمثلة لحساب حجم الكرة 

المثال الاول: اكتب معادلة الكرة بالصيغة القياسية حيث يكون مركز الكرة ونصف قطرها (11 ، 8 ، -5) و 5 سم على التوالي.

الحل :

  • المعطى: المركز = (11 ، 8 ، -5) = (أ ، ب ، ج)
  • نصف القطر = 5 سم
  • نعلم أن معادلة الكرة في الشكل القياسي مكتوبة على النحو التالي: (xa) 2 + (yb) 2 + (zc) 2 = r 2
  • قم باستبدل القيم المعطاة في النموذج السابق ، نحصل على:
  • (x-11) 2 + (y-8) 2 + (z – (- 5)) 2 = 5 2
  • (x-11) 2 + (y-8) 2 + (z +5) 2 = 25

وبالتالي ، فإن معادلة الكرة هي (x-11) 2 + (y-8) 2 + (z +5) 2 = 25

المثال الثاني: أوجد حجم الكرة التي قطرها 10 سم؟

الحل :

  • معطى ، القطر  د = 10 سم
  • نعلم أن D = 2 r وحدة مكعبة.
  • لذلك ، فإن نصف قطر الكرة ، r = d / 2 = 10/2 = 5 cm
  • للعثور على الحجم: حجم الكرة = 4/3 πr 3 وحدات مكعبة.
  • الخامس = (4/3) × (22/7) × 5 3

إذن  حجم الكرة ، V = 522 وحدة مكعبة.

المثال الثالث: أوجد مساحة سطح كرة نصف قطرها 7 سم ؟

الحل :

  • نصف القطر المعطى = 7 سم
  • مساحة سطح الكرة (SA) = 4πr 2 وحدة مربعة
  • SA = 4 × (22/7) × 7 2
  • SA = 4 × 22 × 7
  • SA = 616 سم 2

إذن ، مساحة سطح الكرة = 616 وحدة مربعة.[4]

اثبات قانون حجم الكرة بالتكامل 

يمكن الحصول على حجم الكرة بسهولة باستخدام طريقة التكامل ، افترض أن حجم الكرة يتكون من العديد من الأقراص الدائرية الرفيعة التي يتم ترتيبها واحدة فوق الأخرى ، وتحتوي الأقراص الدائرية على أقطار متغيرة باستمرار ويتم وضعها مع المراكز بشكل خطي. 

قم باختيار أي قرص من الأقراص ، قرص رفيع نصف قطره “r” وسمكه dy يقع على مسافة y من المحور x ، وبالتالي يمكن كتابة الحجم على أنه حاصل ضرب مساحة الدائرة وسمكها. 

ويمكن التعبير عن نصف قطر القرص الدائري “r” من حيث البعد الرأسي (y) باستخدام نظرية فيثاغورس. 

وبالتالي ، يمكن التعبير عن حجم عنصر القرص ، dV من خلال:

فولت = ( πr 2 ) دى

dV = π (R 2 -y 2 ) دى

وبالتالي ، يمكن تحديد الحجم الكلي للكرة من خلال:

الخامس=∫ذ+ + رذ= – صدالخامس

الخامس=∫ذ+ + رذ= – صπ(ر2-ذ2) دذ

الخامس= π[ر2ذ-ذ33]ذ= + صذ= – ص

استبدل القيم :

الخامس= π[ (ر3-ر33) – ( -ر3+ر33) ]

ويمكن تبسيط التعبير السابق ، نحصل على:

الخامس= π[ 2ر3-2ر33]

الخامس=π3[ 6ر3- 2ر3]

الخامس=π3( 4ر3)

وبالتالي ، فإن حجم الكرة هو الخامس=43πر3 وحدات مكعبة.[2]

حساب مساحة الكرة الأرضية

تحتوي المواد الصلبة على ثلاثة قياسات أو أبعاد مختلفة مثل الطول والعرض والارتفاع ، ونحن نعلم أن  الأشكال ثلاثية الأبعاد لا تقع على قطعة من الورق ، ويتم الحصول على معظم الأشكال ثلاثية الأبعاد من دوران الكائنات ثنائية الأبعاد.

أحد أفضل الأمثلة على الشكل الثلاثي الأبعاد هو الكرة التي يتم الحصول عليها من دوران شكل ثنائي الأبعاد يسمى الدائرة ، والارض هي مثال جيد للكرة الكروية.

وأحد الأمثلة الجيدة على نصف الكرة الأرضية هو الأرض أيضا حيث تتكون الأرض من نصفين ، هما نصف الكرة الجنوبي ونصف الكرة الشمالي.

حجم نصف الكرة الأرضية

نصف الكرة هي بالضبط نصف الكرة ، ويكون لها سطح منحن وسطح مستو. 

يمكننا بسهولة إيجاد حجم نصف الكرة لأن قاعدة الكرة دائرية. اشتق أرشميدس حجم نصف الكرة الأرضية.

حجم نصف الكرة = (2/3) πr 3 وحدات مكعبة.

حيث π ثابت تساوي قيمته 3.14 تقريبًا.

“r” هو نصف قطر نصف الكرة الأرضية.

قانون حجم نصف الكرة الأرضية

عندما يتم توسيط نصف القطر “R” في الأصل ، يتم إعطاؤه بواسطة

س 2 + ص 2 + ع 2 = ر 2

تتم كتابة الصيغة أو المعادلة الديكارتية لنصف الكرة مع نصف قطر “R” عند النقطة (x 0 ، y 0 ، z 0 ) 

(xx 0 ) 2 + (y- y 0 ) 2 + (z- z 0 ) 2 = R 2

لذلك ، يتم إعطاء الإحداثيات الكروية لنصف الكرة على النحو التالي

x = r cos θ sin ∅

y = r sin θ cos ∅

ض = ص كوس ∅

أمثلة لحساب حجم نصف الكرة 

سؤال: أوجد حجم نصف الكرة التي يبلغ نصف قطرها 6 سم ؟

الحل :

  • المعطى: نصف القطر r = 6 سم 
  • حجم نصف الكرة = (2/3) πr 3 وحدات مكعبة.
  • عوّض بقيمة r في الصيغة

V = (2/3) × 3.14 × 6 × 6 × 6

V = 2 × 3.14 × 2 × 6 × 6

الخامس = 452.16

لذلك ، فإن حجم نصف الكرة هو 452.16 وحدة مكعبة.[3]

خصائص الكرة

  • الكرة متناظرة ومستديرة الشكل. 
  • إنها مادة صلبة ثلاثية الأبعاد.
  • لها مساحة وحجم على أساس نصف قطرها. 
  • ليس لها أي وجوه أو زوايا أو حواف.
  • جميع النقاط الموجودة على السطح على مسافة متساوية من المركز.
  • ليس لديها سطح من المراكز.
  • لديها انحناء متوسط ​​ثابت.
  • لها عرض ومحيط ثابتان.[4]

اترك تعليقاً

لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني. الحقول الإلزامية مشار إليها بـ *

زر الذهاب إلى الأعلى
إغلاق