امثلة على خاصية التجميع

كتابة: دعاء اشرف آخر تحديث: 24 ديسمبر 2020 , 03:59

خواص الأعداد

  • خاصية التبديل

تأتي كلمة تبديل بمعني تنقل  لذا فيمكن تعريف الخاصية التبادلية على أنها ، الإشارة إلى تحريك الأرقام : وقاعدته هي أ + ب = ب + أ ،

وتطبيقها بالأرقام يكون : ٢ + ٣ = ٣ + ٢ ، وفي مسائل الضرب تكون الصياغة ، أ ب = ب أ ، وتطبيقها بالأرقام : ٢ × ٣ = ٣ × ٢ .
لذا عند الإشارة إلى الخاصية التبادلية ، فيقصد بها نقل الأرقام ، وعند إيجاد جملة تتحدث عن تحريك الأرقام ، فيكون القصد منه إثبات أن الحساب يستخدم الخاصية التبادلية أمثلة على الخاصية التبادلية :

قم بتبسيط المسألة ٣أ – ٥ب + ٧أ مع ذكر الخطوات
الإجابة :
المعطى : ٣أ – ٥ب + ٧أ
الملكية التبادلية : ٣أ + ٧أ – ٥ب
الملكية التوزيع : أ ( ٣ + ٧ ) – ٥ب
التبسيط : أ ( ١٠ ) – ٥ب ( ٣ + ٧ = ١٠ )
الملكية التبادلية : ١٠أ – ٥ب
فقد تم نقل – ٥ب من منتصف المسألة في السطر الأول إلي نهاية المسألة في السطر الثاني

  • خاصية التجميع

خاصية التجميع هي القاعدة التي تشير إلى تجميع المعادلة طبقا لقاعدة الجمع : أ + ( ب + ج ) = ج + ( أ + ب ) ، وهى ما تطبق بالأرقام ٢ + ( ٣ + ٤ ) = ٤ + ( ٢ + ٣ ) .

أما قاعدة الضرب فهي : أ (ب ج ) = ج ( أ ب ) ، وتمثيلها بالأرقام : ٢ ( ٣ × ٤ ) = ٤ ( ٢ × ٣ ) . فتشير خاصية التجميع إلى إعادة جمع الأرقام والمعادلة .

كما أن هذه الخاصية تساعد على تسهيل حل المعادلات بأنواعها ولا تغير في النتيجة ، حيث بعد وقبل التجميع ستكون النتيجة نفسها كب ما هو عليك هو أخذ عامل مشترك خارج القوس وكتابة باقي الأرقام داخل القوس وأبدا الحل .

  • خاصية التوزيع

خاصية التوزيع تكتب هذه الخاصية بطريقة : أ ( ب + ج ) = أ ب + أ ج ، وتكون الصياغه بالأرقام : ٢ ( ٣ + ٤ ) = ٢ × ٣ + ٢ × ٤ .

ففي الوقت الذي يشيرون فيه إلى استخدام خاصية التوزيع فليس عليك سوي نحلل ما بداخل الأقواس ، ويعتمد تحليل ما بداخل الأقواس على ضرب الرقم الخارجي في الأرقام داخل القوس .

خواص التجميع بالأمثلة

خاصية التجميع في الإضافة

تنتهي دائما المعادلة بنفس الشكل مهما كانت الأرقام مثل [2] :

( أ + ب ) + ج = أ + ( ب + ج ) = ( أ + ج ) + ب .

نمثل الأحرف السابقة بالأرقام لنفترض مثلا أن : أ = ٣ ، ب = ١٨ ، ج = ١ .

وبتبديل الأحرف بالأرقام تكون شكل المسألة الرياضية :

( ٣ + ١٨ ) + ١ = ٢١ + ١ = ٢٢ .
٣ + ( ١٨ + ١ ) = ٣ + ١٩ = ٢٢ .
( ٣+ ١ ) + ١٨ = ٤ + ١٨ = ٢٢ .

فالإجابة لا تتغير إذا تغير ترتيب التجميع للأرقام .

 الخاصية التجميعية في الطرح

عملية الطرح ليس له خاصية الترابط ، وذلك على عكس الجمع ، وفي المثال القادم سنقوم بطرح ٣ – ٥ – ١٠ .

( ٥ – ١٠ ) – ٣ = ٥ – ٣ = ٢
١٠ – ( ٣ – ٥ ) = ١٠ – ٢ = ٨

فإذا كمنا بطرح أول عددين  ١٠ – ٥ ، سوف نحصل على الرقم ٥ ، وإذا كمنا بطرح ٣ ، سنحصل على الرقم ٢ ، وإذا قمنا بطرح آخر عددين فإن ٥ – ٣ = ٢ ، وإذا طرحنا ٢ من ١٠ سوف نحصل على ٨ .

فتغيير طريقة ترتيب الأرقام في عملية الطرح سوف تتغير الإجابة ، وهو ما يجعل عملية الطرح ليس لها خاصية تجميع .

 الخاصية التجميعية في الضرب

وطبقا ل خصائص عملية الضرب يمكنك حل مثال بسيط عند حساب ٤ × ( ٣ × ٢ ) ، ثم قمنا بحسابها بطريقة أخرى ٢ × ( ٣ × ٤ ) ، فسوف نحصل على نفس النتيجة .

وهذا يثبت أن عملية الضرب لها خاصية الترابط ولن تتغير الإجابة بتغير ترتيب الأرقام للمسألة الرياضية  ولا أن تكون على علك ب جدول الضرب كامل حتي تتمكن من حل مثل هذه المسائل .

مثال :

( أ × ب ) × ج = أ × ( ب × ج ) = ( أ × ج ) × ب
فإذا كان ج = ١٠ ، ب = ٥ ، أ = ٣

فسوف تكون المعادلة كالتالي :
( ٣ × ٥ ) × ١٠ = ١٥ × ١٠ = ١٥٠
٣ × ( ٥ × ١٠ ) = ٣ × ٥٠ = ١٥٠
( ٣ × ١٠ ) × ٥ = ٣٠ × ٥ = ١٥٠

خاصية التجميع في القسمة

عند قسمة ٨ ÷ ٢ ÷ ٢ ، وقسمة ( ٨ ÷ ٢ ) ÷ ٢ وتكون النتيجة ٨ ÷ ٢ = ٤ ، و ٤ ÷ ٢ = ٢ ، ونقوم بحساب ٨ ÷ ( ٢ ÷ ٢ ) ، نقوم بحساب ما بداخل الأقواس أولا ٢ على ٢ تساوي واحد ، ضرب ٨ تساوي ٨ .

ومن المثالين السابقين حصلنا على إجابتين مختلفتين ، ولهذا فإن القسمة لا تمتلك خاصية التجميع .

أمثلة على خاصية التجميع

  • مثال١

قم بإثبات أن الأرقام التالية تخضع لخاصية التجميع [3] :

٢ ، ٦ ، ٩

الحل :

٢ ، ٦ ،٩
= ( ٢+ ٦ ) + ٩ = ٨ + ٩ = ١٧
أو :
= ٢ + ( ٦ + ٩ ) = ٢ + ١٥ = ١٧
فنجد هنا أن النتيجة واحدة في المسألتين حيث :
( ٢ + ٦ ) + ٩ = ٢ + ( ٦ + ٩ )

  • مثال٢

حدد إذا كانت المسألة القادمة صحيحا أم لا :
( ٤أ ÷ ٢أ ) = ٤أ ÷ ( ٢أ ÷ أ )
_ نحدد الجانب الذي نريد إظهاره
_ نأخذ الجانب الأيسر
_ نحل هذا الجزء
_ نأخذ الجان الأيمن ونقوم بحله أيضاً
_ نستخرج النتائج
( ٤أ ÷ ٢أ ) ÷ أ = ٤أ ÷ ( ٢أ ÷ أ )
( ٤أ ÷ ٢أ ) ÷ أ
( ٤أ ÷ ٢أ ) ÷ أ = ( ٢ ) ÷ أ = أ/٢
٤أ ÷ ( ٢أ ÷ أ ) = ٤أ ÷ ( ٢ ) = ٢أ
(٤أ ÷ ٢أ ) ÷ أ = أ/٢
٤أ ÷ ( ٣أ ÷ أ ) = ٢أ
أذن ( ٤أ ÷ ٢أ ) ÷ أ ، لا تساوي ، ٤أ ÷ ( ٢أ ÷ أ )
لذلك فإن الناتج خاطئ ولا يتبع خاصية التجميع .

  • مثال٣

من خلال حل المسألة القادمة ، اذكر أن كان الناتج صحيحا أم لا :
( أ – ب ) – ج = أ – ( ب – ج )
الحل :
_ نحدد المعطيات
_ نحاول إثبات أن الجانب الأيمن يساوي الجانب الأيسر
_ نستخرج ما بداخل الأقواس
_ نجمع بين ب ، ج في قوسين
_ التحقق من صح النتائج
_ نذكر النتائج
( أ – ب ) – ج = أ – ( ب – ج )
( أ – ب ) – ج
أ – ب – ج
أ – ( ب + ج )
( أ – ب ) – ج = أ – ( ب + ج )
الناتج : ( أ – ب ) – ج = أ – ( ب + ج )
نستنتج أن :
( أ – ب ) – ج ، لا يساوي ، أ – ( ب – ج )
فالتعبير المعطي يعتبر خاطئ ولا تبع خاصية التجميع .

  • مثال٤

اثبت من خلال الأرقام الأتية أنها تخضع لخاصية الضرب التجمعية :
٢ ، ٦ ، ٩
٢ × ٦ × ٩ = ( ٢ × ٦ ) × ٩ = ١٢ × ٩ = ١٠٨
٢ × ٦ ×٩ = ٢ × ( ٦ × ٩ ) = ٢ × ٥٤ = ١٠٨
نجد أن النتيجة واحده في كلا الحالتين
حيث نجد أن :
( ٢ × ٦ ) × ٩ = ٢ × ( ٦ × ٩ )

زر الذهاب إلى الأعلى
إغلاق