أقسام الخاصية التبديلية في الرياضيات .. وأمثلة عليها

كتابة: Kholoud Hassan آخر تحديث: 12 سبتمبر 2021 , 10:29

الخاصية التبديلية

هي خاصية جبرية تميز الجمع والضرب، وتثبت في الحالة الأولى (الجمع) يحدث ذلك من خلال تغيير ترتيب الإضافات للمسألة الحسابية لا يحدث آي تغير في النتيجة، في الحالة الثانية (الضرب) تظهر الخاصية التبديلية من خلال أنه يمكن تغيير ترتيب العوامل الخاصة بالمسألة الحسابية وعلى الرغم من ذلك لا يتغير الناتج النهائي.

وليتضح ذلك أكثر يجب أن نضع في اعتبارنا العمليات الأربع الحسابية الأساسية: الجمع والطرح والضرب والقسمة، وسوف يتضح الغرض من ذلك في الشرح التالي.

الخاصية التبديلية مجردة:

يُقال أن العملية الثنائية لها الخاصية (ج)، إذا كان من النوع الذي للتالي: ( R ب = ب R )حيث R هو رمز لتشغيل العنصر (ب) على أي واحد يعمل هذه الخاصية (ج)، وتحمل على سبيل المثال من أجل الجمع وللحاصل الضريبي العادي:

إذا كان (ب، أ) رقمين حقيقيين (على وجه الخصوص، كسور عادية أو أعداد صحيحة).

لدينا: ب + أ = ب + أ؛ أ ب = ب أ؛ وينطبق الشيء نفسه على الناتج القياسي للمتجهين: أ ∙ ب ​​= ب ∙ أ، بينما لا ينطبق على المنتج المتجه المتناوب: أ × ب = ب × أ.

في مجموعة، حلقة، جسم، إلخ، الخاصية (ج)، الناتج يكون غير صالح بشكل عام؛ تسمى المجموعات التبديلية مجموعات أبيليان، وتسمى الهيئات التبديلية الحقول، والتفسير هو أن تستخدم الخاصية التبديلية للجمع والضرب ولكن ليس للطرح أو القسمة.

أمثلة على الخاصية التبديلية

لنبدأ بمثال ثم دعونا نرى كل شيء بالتفصيل:

  • لنأخذ العددين 15 و 5.
  • ثم دعنا نضيفهم: 15 + 5 = 20.
  • دعونا نتبادلها ونرى ما سوف ينتج: 5 + 15 = 20.

بدلاً من ذلك:

  • تتضح الخاصية التبديلية في عملية الطرح: 15-5 = 10 وإذا جربت عكس العملية الحسابية تجد أن الناتج يكون نفسه ولكن بالسالب  5-15 = -10.
  • وكذلك تجد الخاصية التبديلية في العمليات الحسابية في عمليات الضرب: 15 × 5 = 75 وكذلك 5 × 15 = 75.
  • وتجد الخاصية التبديلية عند بإجراء عمليات حسابية كالقسمة: 15: 5 = 3 لكن عند تبديل ترتيب الناتج يكون الناتج رقم 3 ولكن رقم عشري : 5: 15 = 0.3

خاصية الإبدال في الجمع

نعلم جميعًا أن 6 + 4 = 10 بالإضافة إلى أن 4 + 6 = 10، بمعنى آخر أن الخاصية التبديلية تنص للإضافة على أن تبادل ترتيب الإضافات لا يغير النتيجة.

لقد عملنا حتى الآن مع الأعداد الطبيعية، ومع ذلك تستمر الخاصية التبديلية في الصمود حتى لو عملنا بأرقام نسبية أو بأرقام منطقية صحيحة على سبيل المثال، بحساب المجموع بين -30 و25 سيكون لدينا:

  • (-30) + 25 = -5
  • 25 + (-30) = -5

نفس الكلام المطابق لمجموع الكسور:

الخاصية التبديلية في الضرب

يتكرر نفس الأمر على قدم المساواة مع في تطبيق الخاصية التبديلية في الضرب، كما يتضح من الخط الموجه: 3 × 2 = 6 (شرائح خضراء) وكذلك 2 × 3 = 6 (شرائح زرقاء):

خاصية تبديلية الضرب

في جملة واحدة نص الخاصية التبديلية للضرب على أن تبديل ترتيب العوامل لا يغير النتيجة، لنحاول تطبيقه في المثال التالي:

إجراء عملية الضرب في العمود بين الرقمين 121 و 23

begin{array}{r r r r r} & 1 & 2 & 3 & times \ & & 2 & 3 & = \ cline{1-5} & 3 & 6 & 9 & + \ 2 & 4 & 6 & & = \ cline{1-5} 2 & 8 & 2 & 9end{array}              begin{array}{r r r r r} & & 2 & 3 & times \ & 1 & 2 & 3 & = \ cline{1-5} & & 6 & 9 & + \ & 4 & 6 & & + \ 2 & 3 & & & = \ cline{1-5} 2 & 8 & 2 & 9end{array}

أيضًا في هذه الحالة يستمر الكل في الثبات إذا اعتبرنا ناتج الأعداد المنطقية أو الأعداد النسبية بدلاً من الأعداد الطبيعية.

الخاصية التبديلية والحسابات السريعة

تلعب الخاصية التبديلية مع الخاصية الترابطية دورًا رئيسيًا في إجراء ما يسمى بالحسابات السريعة، أي الحسابات الذهنية دون استخدام الآلة الحاسبة.

أمثلة على الخواص التبديلية

نحسب العمليات التالية بدون استخدام الآلة الحاسبة وبدون ورق وقلم:

\ 1)   17+12+3+88\ \ 2)   4 times 3 times 5

إن القيام بها بالترتيب الذي كُتب به ليس مستحيلًا، لكنه ليس فوريًا سريعًا.

لنبدأ من 1): باستخدام الخاصية التبديلية، يمكننا كتابتها على النحو  17 + 3 + 12 + 88، وبفضل الخاصية الترابطية يمكننا إجراء المجموع بين الأولين والاثنين الأخيرين:

underbrace{17+3}_{20}+underbrace{12+88}_{100} = 20+100=120

بالتطبيق أيضًا في 2) الخاصية التبديلية للضرب، سيكون لدينا:

4 times 3 times 5= underbrace{4 times 5}_{20} times 3=20 times 3 = 60

الخاصية التبديلية للجمع على خط الأعداد

أستخدام الخاصية التبديلية يظهر بوضوح ويتضح أكثر في المثال التالي:

عندما تريد إضافة 4 إلى11 يعني أن المقصود هو أننا نريد جمعهم، ليحدث ذلك يجب تحديد موقع 11 على الخط ثم نقوم بإحداث 4 قفزات على الخط إلى الرقم 15.

بالنظر لخط الأعداد أدناه والقيام بتغير الترتيب وفي تلك الحالة سوف يتم جمع 4 مع الرقم 11 (4+ 11) معنى الوقوف في خط الأعداد فوق 4 والقفز 11 قفزة لليمين يتضح أن المجموع لايزال يساوي 15.

خصائص عملية الجمع

الخاصيّة التبديليّة

الخاصيّة الرياضيّة التي منها يتضح أن: (الناتج عن عمليّة جمع عددين متساوي، وهذا بِغَض النّظر عن الترتيب وموضع الأعداد المُضافة) يطلق عليها اسم الخاصيّة التبديليّة (وترجمتها بالإنجليزيّة: Commutative property).

أي أن: (أ+ب=ب+أ)؛ فعلى سبيل المثال إن: 10+5=15، كما أنّ: 5+10=15، ففي المِثَالين نجد أن ناتج عمليّة الجَمع يساوي 15 على الرّغم من اختلاف ترتيب الأعداد.

الخاصيّة التجميعيّة

الخاصيّة الرياضيّة التي توضّح أنّ: (الناتج عن جمع مجموعة أعداد حقيقيّة يظل كما هو متساوي عند القيام بتغيير الأعداد التي توجد داخل الأقواس أو عن طريق جمع الأعداد المضافة)، يطلق عليها اسم خاصيّة التجميع (ومعناها بالغة الإنجليزيّة: Associative property).

غالباً تتكوّن مجموعة الأعداد من ثلاث أرقام؛ حيثُ نجد إنّ [أ+(ب+جـ)= ب+(أ+جـ) = جـ+(أ+ب)]، وعلى سبيل المثال نجد إنّ [4+(3+2)=9]، وأيضًا[3+(4+2)=9].

خاصيّة الهويّة

الخاصيّة الرياضيّة التي منها يتضّح أنّ: (الناتج من عمليّة الجمع لأي عدد مع الصّفر دائماً يساوي العدد الأصليّ) يطلق عليها اسم خاصيّة الهويّة (معناها باللغة الإنجليزيّة: Additive Identity Property).

أي أن: (أ+0=أ)؛ وعلى سبيل المثال (0+3=3)، وأيضًا (3+0=0).[2][1]

الوسوم

اترك تعليقاً

لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني. الحقول الإلزامية مشار إليها بـ *

زر الذهاب إلى الأعلى
إغلاق