تعريف الدالة التربيعية .. وقواعدها .. وخصائصها .. وأمثلة عليها

كتابة: Alya Omar آخر تحديث: 07 مارس 2022 , 16:02

ما هي الدالة التربيعية

تُستخدم الدوال التربيعية في مجالات الهندسة والعلوم المختلفة للحصول على قيم المعلمات المختلفة، بيانياً يتم تمثيلهم بواسطة القطع المكافئ.  

اعتمادًا على معامل الدرجة الأعلى يتم تحديد اتجاه المنحنى كلمة “تربيعي” مشتق من كلمة “رباعي” التي تعني مربع، بعبارة أخرى، الوظيفة التربيعية هي “دالة متعددة الحدود من الدرجة 2.”  

هناك العديد من السيناريوهات حيث يتم استخدام الدوال التربيعية مثلاً عند إطلاق صاروخ يتم وصف مساره بواسطة حل دالة تربيعية.

الدالة التربيعية هي دالة متعددة الحدود ذات متغير واحد أو أكثر يكون فيها الأس الأعلى للمتغير هو اثنان نظرًا لأن الحد الأعلى من الدرجة في دالة تربيعية هو من الدرجة الثانية، لذلك يُطلق عليها أيضًا اسم متعدد الحدود من الدرجة 2 تمتلك الدالة التربيعية حدًا واحدًا على الأقل وهو من الدرجة الثانية وهي وظيفة جبرية. [1]

ما هي قواعد الدالة التربيعية

الشكل القياسي لوظيفة تربيعية أو ما يسمى بالقواعد الخاصة بالدالة التربيعية أو الشكل القياسي للدالة التربيعية هو على الشكل:

 f (x) = ax2 + bx + c  

حيث أن  a و b و c أرقام حقيقية مع a 0.

ما هي خصائص الدالة التربيعية

يوجد ثلاث خصائص عامة لجميع الدوال التربيعية: 

1_  الرسم البياني للدالة التربيعية هو دائمًا قطع مكافئ يفتح إما لأعلى أو لأسفل (السلوك النهائي)   

2_ مجال الدالة التربيعية هو جميع الأعداد الحقيقية.

3_  الرأس هو أدنى نقطة عندما يفتح القطع المكافئ لأعلى بينما يكون الرأس هو أعلى نقطة عندما يفتح القطع المكافئ لأسفل. [2]

أمثلة على الدالة التربيعية

مثال 1: حدد رأس الدالة التربيعية f (x) = 2 (x + 3) 2 – 2.

الحل:

لدينا f (x) = 2 (x + 3) 2-2 والتي يمكن كتابتها كـ f (x) = 2 (x – (- 3)) 2 + (-2)

 بمقارنة دالة تربيعية معطاة بالشكل القياسي للدالة التربيعية f (x) = a (x-h) 2 + k ، حيث (h ، k) هي رأس القطع المكافئ ، لدينا

 H = -3 ، k = -2

 ومن ثم ، فإن رأس f (x) هو (-3، -2)

 الجواب: Vertex = (-3، -2

مثال 2: حدد الرأس ومحور التماثل والأصفار وتقاطع y للقطع المكافئ الموضح في الشكل 5.1.35.1.3.

الحل:

الرأس هي نقطة تحول الرسم البياني نلاحظ أن الرأس يقع عند (3،1) (3،1) نظرًا لأن هذا القطع المكافئ ينفتح لأعلى ، فإن محور التناظر هو الخط الرأسي الذي يتقاطع مع القطع المكافئ في الرأس.  

إذن ، محور التناظر هو x = 3x = 3.  لا يتقاطع هذا القطع المكافئ مع المحور x ، لذا لا يحتوي على أصفار.  يعبر المحور yy عند (0،7) (0،7) لذلك هذا هو تقاطع y.

مثال 3: اكتب معادلة للدالة التربيعية gg في الشكل 5.1.75.1.7 كتحويل لـ f (x) = x2f (x) = x2 ، ثم قم بتوسيع الصيغة ، وتبسيط المصطلحات لكتابة المعادلة بشكل عام.

الحل:

 يمكننا أن نرى الرسم البياني لـ gg هو الرسم البياني لـ f (x) = x2f (x) = x2 منقولة إلى اليسار 2 ولأسفل 3 ، معطياً صيغة بالصيغة g (x) = a (x + 2) 2–  3 جم (س) = أ (س + 2) 2-3.

بالتعويض بإحداثيات نقطة على المنحنى ، مثل (0، −1) (0، −1) ، يمكننا إيجاد عامل التمدد.

 −12a = أ (0 + 2) 2−3 = 4a = 12 (5.1.4) (5.1.5) (5.1.6)

 (5.1.4) −1 = أ (0 + 2) 2−3 (5.1.5) 2 = 4 أ (5.1.6) أ = 12

 في الشكل القياسي ، النموذج الجبري لهذا الرسم البياني هو g (x) = 12 (x + 2) 2–3g (x) = 12 (x + 2) 2–3.

 لكتابة هذا في صيغة كثيرة الحدود العامة يمكننا فك الصيغة وتبسيط الحدود.

أشهر الدوال الرياضية

يتم تحديد أنواع الدوال على أساس تعبير المجال والنطاق والوظيفة التعبير المستخدم لكتابة الوظيفة هو العامل الأساسي المحدد للدالة.  

إلى جانب التعبير، فإن العلاقة بين عناصر مجموعة المجال ومجموعة النطاق تمثل أيضًا نوع الدوال يساعد تصنيف الوظائف على فهم أنواع الوظائف المختلفة وتعلمها بسهولة.

يتم تصنيف الوظيفة y = f (x) إلى أنواع مختلفة من الوظائف، بناءً على عوامل مثل مجال ومدى الوظيفة، وتعبير الوظيفة.  

تحتوي الوظائف على قيمة المجال x التي يشار إليها باسم المدخلات يمكن أن تكون قيمة المجال عددًا أو زاوية أو عشريًا أو كسرًا وبالمثل، فإن قيمة y أو قيمة x f هي قيمة رقمية بشكل عام هي النطاق.  

تم تصنيف أنواع الوظائف إلى الأنواع الأربعة التالية

  • بناء على مجموعة العناصر
  • على أساس المعادلة
  • على أساس المدى
  • على أساس المجال [3]

الدوال التكعيبية

الدالة التكعيبية هي دالة كثيرة الحدود من الدرجة 3 لذا فإن التمثيل البياني للدالة التكعيبية قد يحتوي على 3 جذور كحد أقصى، وهي أحد أنواع الدوال .

أي أنه قد يتقاطع مع المحور السيني بحد أقصى 3 نقاط نظرًا لأن الجذور المعقدة تحدث دائمًا في أزواج، فإن الدالة التكعيبية تحتوي دائمًا إما على 1 أو 3 أصفار حقيقية لا يمكن أن تحتوي على صفرين حقيقيين.

الدالة التكعيبية هي دالة كثيرة الحدود من الدرجة 3 وهي على شكل f (x) = ax3 + bx2 + cx + d ، حيث a و b و c و d أعداد حقيقية و a 0. الدالة التكعيبية الأساسية (  والتي تُعرف أيضًا باسم الوظيفة التكعيبية الأصلية) هي f (x) = x3.  بما أن الدالة التكعيبية تتضمن كثير حدود من الدرجة الفردية ، فإن لها جذرًا حقيقيًا واحدًا على الأقل.

الدوال الكسرية

هناك العديد من الدوال منها على سبيل المثال دوال كثيرات الحدود  وأيضاً الدالة الكسرية هي أي دالة يمكن كتابتها على أنها نسبة دالتين كثيرتي الحدود لا معاملات كثيرات الحدود، ولا القيم المأخوذة بواسطة الدالة، بالضرورة أرقام منطقية أي دالة لمتغير واحد x و x ، تسمى دالة عقلانية.

يساعد تحليل البسط والمقام في الدالة الكسرية على تحديد تفردات الدوال المنطقية الجبرية تحدث الوحدة المفردة عندما يساوي مقام دالة كسرية 0 ، 0 ، سواء كان العامل الخطي في المقام يُلغى بعامل خطي في البسط أم لا.

الخط المقارب للمنحنى هو الخط، بحيث تقترب المسافة بين المنحنى والخط من الصفر لأنها تميل إلى اللانهاية، هناك ثلاثة أنواع من الخطوط المقاربة: أفقية وعمودية ومائلة.

تحتوي الوظيفة الكسرية على خط مقارب أفقي واحد على الأكثر أو خط مقارب مائل (مائل)، وربما العديد من الخطوط المقاربة العمودية. [4]

اترك تعليقاً

لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني.

زر الذهاب إلى الأعلى