محتويات
تسمى العلاقة التي تُمثل بيانياً بخط مستقيم علاقة خطية
العلاقة الخطية مصطلح من الإحصاء، يصف علاقة خط مستقيم بين متغيرين، كما يتم التعبير عن العلاقة الخطية عن طريق رسم بياني، حيث يتم رسم خط مستقيم للتوصيل بين المتغير والثابت، أو عن طريق معادلة رياضية “y = mx + b”، إذ يتم ضرب المتغير المستقل في معامل الميل، ويضاف إليه ثابت، والذي يُحدد المتغير التابع.[1]
العلاقة الخطية تُمثل بيانياً
بواسطة خط مستقيم .
يمكن وصف العلاقة الخطية، على أنها علاقة من الدرجة الأولى بين متغيرين “س، ص” وتكون على الصورة “أس+ب ص=جـ حيثُ تعبّر أ، ب، جـ تنتمي للأعداد الحقيقية، أما أ، ب معًا لا يساويان الصفر.
- على سبيل المثال: أوجد ثلاثة أزواج مُرتبة تحقق العلاقة الآتية: ٣ س+ ص= ٥.
- الجواب: بوضع س= صفر إذن، ٣ (٠) + ص= ٥، ص = ٥، إذن الزوج المرتب هو (٥،٠).
- حيث يمثل الصفر الإحداثي السيني.
- بينما يمثل العدد ٥ الإحداثي الصادي.
- الجواب: بوضع س= ١ إذن، ٣ (١) + ص= ٥، ص= ٥ – ٣ = ٢، إذن الزوج المرتب هو (٢،١).[2]
العلاقة الخطية المتناسبة
هي علاقة بين كميتين النسبة بينهما ثابتة، وكذلك معدل التغيّر ثابت .
يمكن التعبير عن العلاقة الخطية المتناسبة بما يلي: إذا كان أ ، ب كميتين فإنّ العلاقة بينهما تكون متناسبة إذا كانت النسبة بينهما ثابتة، ومعدّل التغير ثابت.
- فإذا كانت أ على ب = ثابت، فإنّ التغيّر في أ على التغيّر في ب = ثابت.
أنواع المعادلات الخطية
- معادلة على شكل قياسي: يتم التعبير عنها بمعادلة الخط المستقيم.
- ميل ونقطة: هي معادلة يكون فيها متغير واحد فقط.
- ميل ومقطع: هي المعادلة التي يأتي فيها متغيرين.[3]
خواص الدالة الخطية
- الرسم البياني.
- ميل الدالة.
- التزايد والتناقص والثبات للدالة.
- مجال ومدى الدالة الخطية.
الرسم البياني للدالة الخطية: يتم ترتيب الأزواج المُرتبة، في صورة خط مستقيم بالرسم البياني، إذ يتم وصف العلاقة الخطية في هذه الحالة لمتغيرين، بعلاقة خطية بين «س، ص»
بمعنى أنَّ المتغيرين س و ص تعتمد فيهم قيمة ص تبعًا لقيمة س، فمع تغيُّر قيمة س يكون لـ ص قيمة مقابلة، لذلك تظهر س كمتغير مستقل على المحور الأفقي، بينما ص هي المتغير التابع لـ س.
- مثال على ذلك: ٢ س+ ص= ٥.
- الجواب: بوضح س= صفر إذن، ٢ (٠) + ص= ٥، ص = ٥، إذن الزوج المرتب هو (٥،٠).
ميل الدالة: يُطلق على ميل الدالة الخطية اسم “المنحدر” وفي الغالب يُرمز له بالحرف “م”، ويُعبّر هذا المُنحدر عن معدَّل التغيير الرأسي بين نقطتين، إلى معدَّل التغيير الأفقي بين ذات النقطتين أيضًا.
على سبيل المثال إذا كان لدينا “س1، ص1” ترمز للنقطة الأولى و “س2، ص2” ترمز للنقطة الثانية، إذن سيكون المُنحدر أو ميل الدالة الخطية على الصورة التالية: م = (ص2 – ص1)، (س2 – س1) مع أهمية تمثيل الإحداثيات بنفس الترتيب، لأن خلاف ذلك ستكون قيمة الميل خاطئة
التزايد والتناقص والثبات للدالة: العلاقة الخطية إما متزايدة، وإما متناقصة أو ثابتة، ولكن ما الذي يُحدد ذلك الأمر؟ المُحدد له هو ميل الدالة أثناء تمثيلها بيانيًا، لنفسر الأمر بشكل أوضح في التالي:
- الدالة المتزايدة: في الدالة المتزايدة يكون المنحدر موجباً م >0، أمَّا خطها المستقيم فيكون مائلاً لأعلى من الجهة اليسرى إلى اليمين.
- الدالة المتناقصة: بينما الدالة الخطية المتناقصة يكون منحدرها سالباً م <0، وخطها المستقيم يميل نحو الأسفل من جهة اليسرى إلى الجهة اليمنى.
- الدالة الثابتة: تظهر الدالة الخطية الثابتة بميل = 0، لذا يأتي خطها المستقيم أفقيًا.
مجال ومدى الدالة الخطية: يُساوي مجال الدالة الخطية جميع الأعداد الحقيقية “ح” في س، أمَّا المدى للعلاقة الخطية فيمثّل أيضًا مجموع الأعداد الحقيقية “ح” في ص، دون الحالات الاستثنائيَّة، أو في حال كان ميل الدالة = صفر، إذ تُمثَّل العلاقة الخطية بشكل أفقي.
الفرق بين العلاقة الخطية والغير خطية
العلاقة الخطية: يتم تمثيل العلاقة الخطية على هيئة خط مستقيم، كما أنَّ معدل التغير فيها أو الميل يكون ثابتًا، بمعنى إذا أخذنا أي ارتفاع على الخط المستقيم سنجد المقدار ثابت من بداية الميل حتى نهايته.
العلاقة غير الخطية: الدالة غير الخطية تأتي بشكل منحنى، وغير منتظم، لذلك يكون الميل لديها غير ثابت، فيكون في كل جزء لدى منحنى الدالة مقدار ميل مختلف ومتغير تمامًا.
ولتوضيح الفرق بصورة أبسط بين الدالة الخطية، وغير الخطية، سنعرض الأمر بشكل عملي نراه في حياتنا اليومية، وليكن:
إذا أردنا اقتراض مبلغ بقيمة مائة ألف ريال سعودي في عام 2023، مع فوائد ثابتة بنسبة 10%، إذن مع حلول عام 2024 سيأخذ البنك 10% زائدة عن المبلغ الأصلي وهو مائة ألف ريال سعودي ليصبح المبلغ بالفائدة مائة وعشرة ألف ريال سعودي.
لنفترض أنَّ المبلغ لم يُرد للبنك في عام 2024، إذن في عام 2025 سيتم رد المبلغ بنسبة 10% ثابتة على المبلغ الأصلي، ولمرور سنة 2024 دون رد المبلغ ستكون نسبة البنك على السنتين الماضيتين أي 10% + 10% أخرى، ليصبح المبلغ المراد دفعه مائة وعشرون ألف ريال سعودي.
- نفهم من هذا المثال أن النسبة ثابتة لا تتغير وتضاف على المبلغ الأصلي، أي تسير في خط مستقيم معدل تغيره ثابت تمامًا كالدالة الخطية.
أما الدالة غير الخطية فيمكن توضيحها بنفس المثال السابق، حيث يأخذ البنك فائدة بقيمة 10%، وليكن المبلغ مائة ألف ريال سعودي، إذن في العام التالي ستُضاف النسبة ليصبح المبلغ مائة وعشرة ألف ريال، ولكن في السنة التالية؟ هُنا يكمن الفرق، إذ تُضاف الفائدة على آخر مبلغ تم تسديده، وليس المبلغ الأصلي.
بمعنى زيادة 10% على المبلغ مائة وعشرة ألف ريال، ليصبح المبلغ المراد دفعه مائة وواحد وعشرون ألف ريال، وفي العام الذي يليه تُضاف 10% لآخر مبلغ لدينا، لذا تكون قيمة المبلغ غير ثابتة بل متغيرة في السنة من عام لآخر.[4]
