محتويات
المثلث الذي إحدى زواياه قائمة يسمى مثلث قائم الزاوية
المثلث الذي إحدى زواياه قائمة يسمى مثلث قائم الزاوية Right Angled Triangle، يبلغ قياس الزاوية القائمة 90 درجة، ومجموع الزاويتين الآخرتين هو 90 درجة، المثلث قائم الزاوية أطول أضلاعه يطلق عليه اسم الوتر، الوتر هو الضلع المقابل إلى الزاوية القائمة، أمام الارتفاع أو الضلع العمودي للمثلث،
أضلاع المثلث الثلاثة مرتبطة ببعضها البعض، ولحساب طول الوتر الموجود في مقابل الزاوية القائمة يتم ذلك من خلال نظرية فيثاغورث الرياضية، وفقاً للقانون التالي:
طول الوتر= الجذر التربيعي لمجموع تربيع طول القاعدة والارتفاع.
بمعنى أوضح لو عبرنا عن طول القاعدة ب أ والارتفاع عبر عنه بالحرف ب، تصبح معادل حساب الوتر كالتالي:
طول الوتر= الجذر التربيعي لمجموع أ2 + ب2 أو
طول الوتر= √ (أ2 + ب2) العلامة الرياضية هنا √ هي رمز عن الجذر التربيعي.
الجدير ذكره أنه من خصائص المثلث قائم الزاوية، هو عند رسم عمود من أو خط من الزاوية القائمة إلى الوتر، نحصل في النتيجة على 3 مثلثات متشابهة، أما إذا وضعنا رسمة دائرة تربط بين الجوانب الثلاثة للمثلث، فحساب نصف قطر الدائرة المرسومة، يساوي نصف طول الوتر، أي أن الوتر يتم حسابته بالمعادلة الموضحة، ثم نقسم الناتج على 2، معادلة حسابه وهو الجذر التربيعي لحاصل ضرب ضعف الطول في القاعدة.
حساب وتر مثلث قائم الزاوية
نوضح تالياً مجموعة من الأمثلة الخاصة بحساب الوتر في المثلث الذي إحدى زواياه قائمة والذي يسمى مثلث قائم الزاوية، وذلك من خلال قانون الوتر الذي وضحناه سابقاً:
مثال 1: إذا كان لدينا مثلث قائم الزاوية يبلغ طول قاعدته 6 سم، والضلع العمودي أو الارتفاع 8سم، كم يبلغ حساب طول الوتر وهو الضلع المقابل للزاوية القائمة، خطوات الحل هي:
طول الوتر= √ (أ2 + ب2) و أ هنا طول القاعدة وب هي الارتفاع
طول الوتر= √ (36+ 64) وناتج الجمع هو 100.
طول الوتر هو الجذر التربيعي للعدد 100، إذا طول الوتر في المثلث قائم الزاوية= 10 سم.
مثال 2: طول قاعدة مثلث قائم الزاوية 5 سم والارتفاع 7 سم، كم يكون طول ضلع الوتر، الحل كالتالي:
طول الوتر= √ (أ2 + ب2)
طول الوتر= √ (25 + 49)، حاصل جمع 25+ 49= 74.
طول الوتر= الجذر التربيعي ل 74 وهو 37.
طول الوتر= 37 سم.
حساب محيط مثلث قائم الزاوية
يتكون المثلث القائم الزاوية من 3 أجزاء وهو الوتر، القاعدة والارتفاع أو الضلع العمودي، لذلك عند حساب محيط هذا المثلث، نقوم بجمع الأطوال الثلاثة من خلال المعادلة التالية:
محيط المثلث= القاعدة+الارتفاع+الوتر.
مثال: إذا لدينا مثلث قائم الزاوية بطول وتر= 5 سم، قاعدة = 4سم وارتفاع= 3 سم، وبالتالي المحيط:
محيط المثلث= 3+ 5+ 4= 12 سم.
حساب مساحة مثلث قائم الزاوية
لحساب مساحة المثلث القائم الزاوية من خلال اثنين من قوانين الرياضيات وهي التي نوضحها تالياً تفصيلياً:
مساحة المثلث هي منطقة ثنائية الأبعاد ويتم التعبير عنها بالتربيع أو الوحدات المربعة، وقوانين حسابها:
القاعدة في الارتفاع ÷ 2 أو 1/2 القاعدة ˟ الارتفاع.
مثال: مثلث قائم الزاوية طول القاعدة 5 سم وطول الارتفاع أو الضلع العمودي 8 سم، احسب مساحة المثلث:
مساحة المثلث= القاعدة في الارتفاع ÷ 2 أو 1/2 القاعدة ˟ الارتفاع.
وبالتالي الحل (5 ˟ 8) ÷ 2 = 40 ÷ 2 = 20
إذاً مساحة المثلث= 20 سم.
أما عن القانون الثاني وهو قانون هيرون
اضلاع المثلث هنا الثلاثة يتم التعبير عنهم a، b و c وحرف ال s هنا يعبر عن نصف المحيط، أي نحسب المحيط بالكامل بالمعادلة السابقة، ثم نق.
مثال: إذا كان أطوال أضلاع المثلث الثلاثة 2، 5، 9 سم، لحساب مساحة المثلث بقانون هيرون الموضح في السطور السابقة:
لحساب المحيط كما ذكرنا سابقاً هو مجموع الأضلاع الثلاثة 2+5+9 = 16 وبالتالي نصف المحيط هو 8.
(نصف المحيط s – طول الضلع الأول) ˟ (نصف المحيط s – طول الضلع الثاني) ˟ (نصف المحيط s – طول الضلع الثالث)، وبالتالي الإجابة ستكون بالشكل التالي:
(8 – 3) ˟ (8- 4) ˟ (8- 7) = 5 ˟ 4 ˟ 1= 20
الآن نقوم بضرب الناتج في نصف المحيط= 20 ˟ 8= 160.
مجموع الزوايا الداخلية في المثلث قائم الزاوية
180 درجة.
كما وضحنا الزاوية القائمة في هذا النوع من المثلث تبلغ 90 درجة، أما مجموع الزاويتين الآخرتين يجب ان يكون 90 درجة أيضاً، وبالتالي مجموع الثلاث زوايا يساوي 180 درجة.
هل المثلث القائم من الممكن أن يتكون من زاويتان فقط
لا عبارة خاطئة.
المثلث هو عبارة عن ثلاثة أضلاع، وفي المثلث القائم الزاوية Right Angled Triangle، يجب أن يكون مجموع الزوايا الثلاثة 180 درجة، إذا كان المثلث من زاويتان فقط، هذا يعني الزاوية الثالثة مقدارها صفر، وبالتالي هذا الضلع الذي زاويته صفر، سيتداخل مع الضلع الأخر، وحينها لن يكون هناك مثلث قائم الزاوية، لذلك من المستحيل أن يتكون المثلث من زاويتين فقط. [1[] [2] [3]
