تعريف القطوع المخروطية: أنواعها وخصائصها .. طريقة تحديدها

محتويات

تعريف القطوع المخروطية

القطوع المخروطية هي منحنيات هندسية ناتجة عن تقاطع سطح مخروط مع مستوى. يتكون هذا النوع من المنحنيات من أربعة أنواع أساسية: النجم الناقص، النجم الزائد، النجم الدائري، والنجم المكافئ. يعتمد نوع النجم المخروطي على زاوية ميل المستوى بالنسبة لمحور المخروط.

أنواع القطوع المخروطية:

الدائرة: إذا كان المستوى موازياً لقاعدة المخروط، فإن النجم الناتج هو دائري.

النجم الناقص: إذا كان المستوى مائلاً للمخروط ولكن لا يمر بمركز القاعدة، ينتج عنه نجم ناقص.

النجم الزائد: يحدث عندما يكون المستوى مائلاً بشكل أكبر ويقطع المخروط على مستوى بحيث لا يمر بمركزه أو عبر القاعدة.

النجم المكافئ: يحدث عندما يقطع المستوى المخروط بشكل موازٍ للجزء المائل من المخروط.

خصائص القطوع المخروطية:

الدائرة: تحتوي على مركز ونصف قطر ثابت.

النجم الناقص: يحتوي على محورين (طويل وقصير) وتجمع جميع النقاط فيه المسافة من نقطتين ثابتتين (البؤرتين) تكون ثابتة.

النجم الزائد: يحتوي على بؤرتين والمسافة بينهما تكون أكبر من الفرق بين المسافات إلى أي نقطة على النجم الزائد.

النجم المكافئ: له نقطة فريدة تسمى “البؤرة” وخط يسمى “الدليل”.

العالم الذي اخترع القطوع المخروطية:

القطوع المخروطية اكتشفها العالم أبولونيوس في القرن الثالث قبل الميلاد. قام بتطوير مصطلح “القطوع المخروطية” ودرس خصائصها بشكل موسع، كما قدم معادلاتها.

تحديد القطوع المخروطية:

.لتحديد نوع القطوع المخروطية (الدائرة، القطع الناقص، القطع المكافئ، والقطع الزائد)، يمكن اتباع الطرق التالية بناءً على معادلة القطع المخروطي العامة:

المعادلة العامة للقطع المخروطي هي:

$A x^{2} + B y^{2} + C x y + D x + E y + F = 0$

الدائرة: إذا كانت المعاملات $A = B$ و $C = 0$ ، فإن المعادلة تمثل دائرة. تكون المعادلة في الشكل $A x^{2} + A y^{2} + D x + E y + F = 0$ .
القطع الناقص: إذا كانت المعاملات $A$ و $B$ موجبة أو سلبية ولكن غير متساوية، و $C = 0$ ، فهذا يشير إلى قطع ناقص. المعادلة تكون في الشكل $A x^{2} + B y^{2} + D x + E y + F = 0$ حيث $A \neq = B$ .
القطع المكافئ: إذا كان أحد المعاملين $A$ أو $B$ صفرًا والآخر غير صفري (مثل $A x^{2} + B y + F = 0$ ) أو إذا كانت هناك عوامل مشابهة تشير إلى علاقة موازية.
القطع الزائد: إذا كانت المعاملات $A$ و $B$ ذات إشارات مختلفة و $C = 0$ ، فإن المعادلة تمثل قطعًا زائدًا. المعادلة تكون على شكل $A x^{2} - B y^{2} + D x + E y + F = 0$ .