بحث عن الاحتمال الهندسي

نظرية الاحتمالات هي فرع الرياضيات المعنية بالاحتمال، على الرغم من وجود العديد من تفسيرات الاحتمالات المختلفة ، إلا أن نظرية الاحتمالات تتعامل مع المفهوم بطريقة رياضية دقيقة عبر التعبير عنه من خلال مجموعة من البديهيات، وعادةً ما تضفي هذه البديهيات طابعًا رسميًا على الاحتمالية من حيث مساحة الاحتمال ، والتي تحدد مقياسًا يأخذ قيمًا بين 0 و 1 ، يطلق عليه مقياس الاحتمال ، لمجموعة من النتائج تسمى مساحة العينة، وتسمى أي مجموعة فرعية محددة من هذه النتائج بالحدث .

نظرية الاحتمالات

تشمل الموضوعات الرئيسية في نظرية الاحتمالات المتغيرات العشوائية المنفصلة والمستمرة ، وتوزيعات الاحتمالات ، والعمليات العشوائية ، التي توفر التجريدات الرياضية للعمليات غير المحددة أو غير المؤكدة، أو الكميات المقاسة التي قد تكون إما حوادث مفردة أو تتطور مع مرور الوقت بطريقة عشوائية، وعلى الرغم من أنه لا يمكن التنبؤ بالأحداث العشوائية تمامًا ، إلا أنه يمكن قول الكثير عن سلوكهم، نتيجتان رئيسيتان في نظرية الاحتمالات التي تصف مثل هذا السلوك هما قانون الأعداد الكبيرة ونظرية الحد المركزي.

كأساس رياضي للإحصاء ، نظرية الاحتمالات ضرورية لكثير من الأنشطة البشرية التي تنطوي على تحليل كمي للبيانات، وتنطبق طرق نظرية الاحتمالات أيضًا على أوصاف الأنظمة المعقدة التي تعرف فقط بمعرفة جزئية عن حالتها ، كما في الميكانيكا الإحصائية، وكان هناك اكتشاف كبير لفيزياء القرن العشرين هو الطبيعة الاحتمالية للظواهر الفيزيائية في المقاييس الذرية ، الموصوفة في ميكانيكا الكم .

المكون الأساسي لنظرية الاحتمالات

المكون الأساسي لنظرية الاحتمالات هو التجربة التي يمكن تكرارها ، على الأقل افتراضيًا ، في ظل ظروف متطابقة بشكل أساسي والتي قد تؤدي إلى نتائج مختلفة في تجارب مختلفة، وتدعى مجموعة جميع النتائج المحتملة للتجربة بـ “مساحة العينة”، إن تجربة رمي عملة ما ينتج عنها مساحة عينة بها نتيجتان محتملتان ، “الرؤوس” و “ذيول” .

الاحتمال الهندسي

الاحتمال الهندسي هو أداة للتعامل مع مشكلة النتائج غير المحدودة عن طريق قياس عدد النتائج هندسيا ، من حيث الطول أو المساحة أو الحجم، وفي الاحتمال الأساسي ، عادة ما نواجه مشكلات “منفصلة”، ومع ذلك ، تتضمن بعض المشكلات الأكثر إثارة للاهتمام المتغيرات “المستمرة” (مثل ، وقت وصول الحافلة الخاصة بك)، ويمكن أن يكون التعامل مع المتغيرات المستمرة أمرًا صعبًا ، ولكن الاحتمال الهندسي يوفر طريقة مفيدة من خلال السماح لنا بتحويل مشاكل الاحتمالات إلى مشاكل في الهندسة، إذا بدا هذا مفاجئًا ، فقم بإلقاء نظرة على المشكلة التالية:

تأتي الحافلة في وقت عشوائي بين الساعة 12 مساءً و 1 ظهرًا، إذا ظهرت في الساعة 12:30 مساءً ، ما مدى احتمال ركوب الحافلة؟

يمكننا إظهار ذلك هندسيًا عن طريق النظر في نقطة تم اختيارها عشوائيًا على خط رقم أحادي البعد: طول خط الأرقام بين 12:30 و 1 مساءً يساوي الطول من 12 مساءً إلى 12:30 مساءً.

في حين أن هذا المثال واضح ومباشر ، إلا أنه يمكن حل العديد من المشكلات المعقدة ببساطة باستخدام الاحتمال الهندسي، في هذه الصفحة ، سنبدأ بأمثلة 1D ، والتي هي أبسط طريقة سهلة الفهم ، ثم نعمل على الوصول إلى الأبعاد ثنائية وثلاثية الأبعاد وأعلى.

الأفكار الرئيسية في الاحتمال

تتمثل إحدى الأفكار الرئيسية في الاحتمال في حساب عدد النتائج “المرغوبة” التي يحتمل أن تكون متساوية ، ثم تقسيم ذلك على عدد النتائج الكلية المحتملة على قدم المساواة:

ومع ذلك ، عندما يكون المتغير مستمرًا ، يصبح من المستحيل “حساب” النتائج بالمعنى التقليدي، على سبيل المثال ، إذا كان عددًا حقيقيًا عشوائيًا يتراوح بين 0 و 1 ، فقد يكون أو لا أو حتى شيئًا غير عقلاني ، فمن الواضح أن هناك نتائج غير محدودة إذا كنا نعول بالمعنى التقليدي، والاحتمالية هي قيمة عددية تظهر مدى احتمال حدوث حدث معين، مع الاحتمال الهندسي ، فأنت تبحث عن احتمال أن تصل إلى منطقة معينة من الشكل، لذلك ، فإن الاحتمال الهندسي يشبه لعبة السهام.

كيف يمكن التعبير عن الاحتمالية

يتم التعبير عن الاحتمالية دائمًا كنسبة بين 0 و 1 تعطي قيمة لمدى احتمال حدوث الحدث، احتمال 0 يعني أنه لا توجد فرصة لحدوث هذا الحدث، على سبيل المثال ، فإن احتمال تعرض القرش للعض أثناء المشي عبر الصحراء هو 0، والاحتمال 1 يعني أن الحدث المعين سيحدث دائمًا، على سبيل المثال ، إذا قفزت إلى بحيرة ، فإن الاحتمال بأن تصبح مبللاً هو 1، الاحتمال 0.5 يعني أن هناك فرصة بنسبة 50/50 لحدوث الحدث ، مثل الحصول على ” الملك أو الكتابة ” عند قلب عملة معدنية.

تضيف جميع النتائج المحتملة للموقف إلى احتمال 1، وهذا لأننا سنفترض أنه لا يمكن حدوث شيء آخر ، باستثناء الأحداث التي نفكر فيها، لذلك ، عندما تقلب عملة معدنية ، فإننا نعتبر فقط أنها يمكن أن تأتي برؤوس أو ذيول ” ملكأو كتابة “، وسوف نتجاهل حقيقة أن العملة يمكن أن تهبط على الحافة، وفي هذا الدرس ، سننظر في لعب السهام كمثال لحساب الاحتمالات الهندسية، وسنفترض أن السهام ستهبط في إحدى المناطق الموجودة على لوحة المعلومات، وسوف نتجاهل أن شخصًا ما قد يكون سيئًا جدًا في لعبة الرشق بالسهام إلى درجة أن السهام تفتقد اللوحة تمامًا.

صيغة الاحتمالات الهندسية

لحساب الاحتمال الهندسي ، ستحتاج إلى العثور على مناطق الأشكال المتورطة في المشكلة، وستحتاج إلى معرفة المساحة الكلية ، مما يعني أكبر مساحة في الرسم البياني ، مثل لوحة المعلومات بأكملها، ستحتاج أيضًا إلى معرفة المنطقة المرغوبة ، وهي الجزء الذي تحاول الوصول إليه ، مثل عين الثور، وبمجرد حساب كل من هذين المجالين ، تكون الصيغة ببساطة:

P = المطلوب / المجموع

في هذه الصيغة ، P تعني الاحتمال الهندسي .

الوسوم :
الوسوم المشابهة : , ,

شارك المقال في صفحاتك

معلومات الكاتب

Avatar

عبير محمد

أكتب تعليق

اترك تعليقاً

لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني. الحقول الإلزامية مشار إليها بـ *