هل عملية الضرب عملية ابدالية ام جمع متكرر ؟

كتابة: اسراء حرب آخر تحديث: 20 يناير 2022 , 15:41

مفهوم عملية الضرب

الضرب والجمع هما العمليتان الحسابيتان الأساسيتان والجمع المتكرر هو أن تضيف أعداد متساوية معًا، لذلك قد يُعرف الجمع المتكرر أيضًا باسم الضرب، والسبب أنّه إذا تكرر نفس العدد فيمكننا كتابة ذلك في صورة عملية الضرب.

على سبيل المثال: 2 + 2 + 2 + 2 + 2

هنا 2 مكرر 5 مرات، فيمكننا كتابة هذه الإضافة 5 × 2.

وبالمثل لحل مسألة الضرب من خلال الجمع المتكرر، نقوم بتجميع العدد بشكل متكرر وإضافة نفس العدد مرارًا وتكرارًا لإيجاد الإجابة.

فيما يلي بعض الأمثلة على الجمع المتكررة:

  • 3+3+3 = 9 ، 3 × 3 = 9
  • 2+2+2+2 = 8 ، 2 × 4 = 8
  • 4+4+4 = 12 ، 4 × 3 = 12
  • 5+5+5+5 =20 ، 5×4 =20

الإضافة المتكررة مفيدة أيضًا في تعلم حقائق الضرب، على سبيل المثال إذا كان الشخص لا يعرف نتيجة ضرب  7 × 3 فقد يجد أنّه من الأسهل حساب 7 × 3 بكتابة 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 أو 7 + 7 + 7 والإجابة هي نفسها تكون.

وقد يكون مفيدًا أيضًا مع الأعداد الكبيرة مثل 5 × 40، سيكون من السهل كتابة 40 + 40 + 40 + 40 + 40 ثم الإضافة على العشرات. [1]

هل عملية الضرب عملية ابدالية

تتعامل الخاصية التبادلية مع العمليات الحسابية للجمع والضرب، وهذا يعني أنّ تغيير ترتيب أو موضع الأرقام أثناء جمعها أو ضربها لا يغير النتيجة النهائية.

على سبيل المثال 4 + 5 تعطي 9 ، و 5 + 4 تعطي 9.

وترتيب الأرقام المضافة لا يؤثر على المجموع، ونفس المفهوم ينطبق على الضرب أيضًا، ولكن لا تنطبق الخاصية التبادلية على الطرح والقسمة، لأن النتائج النهائية مختلفة تمامًا في تغيير ترتيب الأرقام.

ما نقصده في معنى ابدالية هو التنقل، ومن ثم فإنّ الخاصية التبادلية تتعامل مع تحريك ونقل الأرقام، لذا من الناحية الحسابية إذا كان تغيير ترتيب المعاملات لا يغير نتيجة العملية الحسابية، فإنّ هذه العملية الحسابية المعينة تكون تبادلية. بصرف النظر عن هذا هناك خصائص أخرى للأرقام مثل الخاصية الترابطية، الخاصية التوزيعية، وهي تختلف عن الخاصية التبادلية للأرقام.

تقول الخاصية التبادلية للإضافة أنّ تغيير ترتيب الإضافات لا يغير من قيمة المجموع، وهناك حالات نحتاج فيها إلى إضافة أكثر من رقمين.

تكون الخاصية التبادلية صحيحة حتى في حالة إضافة أكثر من رقمين، وعلى سبيل المثال:

  • 10 + 20 + 30 + 40 = 100
  • 40 + 30 + 20 + 10 = أيضًا 100.

المجموع هو 100 في كلتا الحالتين حتى عند تغيير ترتيب الأرقام، أي إذا كان “A” و “B” رقمين، فيمكن تمثيل الخاصية التبادلية للأرقام . [2]

هل عملية الضرب عملية جمع متكرر

قد تبدو الإجابة واضحة بالنسبة لك، لكنّها مسألة فيها نقاشًا محتدمًا داخل تعليم الرياضيات حول ما إذا كان هذا صحيحًا وكيف ينبغي تدريسه.
في نتيجة الأمر مجرد حدوث عمليتين تؤديان إلى نفس النتائج لا يعني أنّه يمكننا استنتاج أنهما نفس العملية، أي أنّ هذا الادعاء الرئيسي هو أنّ عمليات الضرب والجمع تختلف اختلافًا جوهريًا، ولكنها مرتبطة ببعضها البعض، على الأرقام.
الإضافة هي عملية تتوافق مع الدمج في العالم الحقيقي، بينما الضرب هو عملية تتوافق مع القياس.
يرغب مؤيدو وجهة النظر هذه في ادعاء حدوث الضرب لإعطاء الإجابة الصحيحة على الإضافة المتكررة كأداة مفيدة، ولكن يرون من الخطأ تعريف الضرب على أنّه جمع متكرر.
وهناك وجهة نظر أخرى تقول أنّ هذا غير صحيح، فالجمع والضرب المتكرر لا يحدث فقط للحصول على نفس الإجابة، لقد ظهرت نفس النتيجة لأنهم في الواقع متماثلون.

لدينا هاتان العمليتان على الأعداد الصحيحة:

  • الجمع 3 + 2 = 5
  • الضرب 3 × 2 = 6. [2]

وفي أحيان أخرى يتم فهم الجمع المتكرر على أنّه طريقة لتعليم الضرب عن طريق تغيير المجاميع إلى مجموعة متكررة من الإضافات.

أي بكل بساطة اذا اعتبرنا أنّ الجمع المتكرر هو إضافة مجموعات من الأرقام معًا عدة مرات، فيكون نوع من الضرب والذي يتم استخدامه لتعليم الأطفال على آلية الضرب.

مثلًا قد يرغب المعلم في مساعدة الطفل في العثور على إجابة “4×4”.

بدلاً من الاعتماد على جداول الضرب، سيسألون الطالب بدلاً من ذلك عن 4 مجموعات من 4.

يمكن للطفل بعد ذلك كتابة المجموع على أنه “4 + 4 + 4 + 4″، وهذا هو الجمع المتكرر.

يمكننا أن نرى الشيء نفسه مرة أخرى مع “5×2”.

إذا كتبناه بدلاً من ذلك كـ “5 + 5” أو “2 + 2 + 2 + 2 + 2، أو إذا جمعنا خمسة مرتين، أو جمعنا اثنين معًا خمس مرات، فإنّ الإجابة هي عشرة، فنكون حصلنا على نفس الإجابة. [5]

طريقة عملية الضرب

عندما نتعلم كيفية الضرب، نتعلم تقسيم المعادلة إلى أجزاء، أولًا نجد حاصل الضرب باستخدام القيمة المكانية للآحاد، ومن ثم ننتقل إلى العشرا ، متبوعين بالمئات.

وفي النهاية نلخص كل شيء ونصل إلى إجابتنا، وتعمل هذه الطريقة بشكل رائع ولكنها ليست دائمًا الأكثر فاعلية، فيما يلي بعض الطرق الأخرى التي يمكنها تسريع العملية.
في هذه الأمثلة أستخدم أرقامًا مكونة من 2 و 3 أرقام، وتعمل هذه الطرق أيضًا مع أعداد أكبر، وهي:

  • الطريقة الشبكية

وفيها سوف ترسم شبكة وتقسم كل مربع بخط قطري، ومن ثمّ تكتب رقمًا على طول الجزء العلوي، والآخر على الجانب الأيمن، مع رقم واحد في كل عمود أو صف.

  • الطريقة الخطية

تعمل هذه الطريقة بشكل جيد للغاية مع الأعداد المكونة من 2 و 3 أرقام عندما تكون الأرقام صغيرة، ويمكن أن تصبح معقدة بعض الشيء عندما يكون لديك العديد من الخطوط المتقاطعة.
ارسم سلسلة من الخطوط المتوازية التي تمثل كل رقم من الرقم الأول، ويجب أن تكون الخطوط بزاوية 45 درجة تقريبًا ولها فجوة بين كل رقم. [3]

خصائص عملية الضرب

هناك مجموعة من الخصائص التي تنطبق على عملية الضرب ومنها:

  • خاصية الضرب التبادلية

تنص الخاصية التبادلية للضرب على أنّ الإجابة تظل كما هي عند ضرب الأرقام، حتى لو تم تغيير ترتيب الأرقام، ولا يؤدي تغيير ترتيب الضرب إلى تغيير الناتج.

على سبيل المثال، دعونا نفكر في العددين 3 و 5.

عند ضرب 3 حصص من 5 نحصل على 3 × 5 = 15

  • خاصية الاستبدال من الضرب

الآن عند عكس ترتيب الضرب، نحصل على 5 مجموعات من 3

أي 5 × 3 = 15

خاصية التبادلية للضرب 2

نظرًا لأن الإجابة هي نفسها في كلتا الحالتين ، فيمكننا القول إن عملية الضرب تبادلية.

  • خاصية التجميع

ما تقوله الخاصية التجميعية في عملية الضرب هو أنّه إذا قمنا بضرب أي ثلاثة أرقام معًا، فستظل الإجابة أو حاصل الضرب هو نفسه دائمًا بغض النظر عن الترتيب الذي نضرب به الأرقام.

على سبيل المثال: دعونا نفكر في أي ثلاثة أعداد ، لنقل 2 و 3 و 4 ونضربها.

  1. الحالة الأولى: يمكننا تجميع الأرقام على أنها 2 × (3 × 4)
    ستكون إجابتنا: 2 × (3 × 4) = 2 × 12 = 24
  2. الحالة الثانية: يمكننا تجميع الأرقام كـ (2 × 3) × 4
    ثم ستكون إجابتنا: (2 × 3) × 4 = 6 × 4 = 24

الملكية الترابطية للضرب 2

كما في كلتا الحالتين فإن الإجابة التي نحصل عليها هي نفسها ، بغض النظر عن الترتيب الذي يتم به ضرب الأرقام. ومن ثم ، فإن الضرب هو ترابطي.

  • خاصية التوزيع في الضرب

تنص الخاصية التوزيعية للضرب على أنّه يمكن توزيع الضرب على الجمع والطرح.

تساعدنا هذه الخاصية في حل الأسئلة ذات الأقواس، كما أنها يسرع من حساباتنا العقلية.

على سبيل المثال، دعونا نفكر في الحساب 2 × (3 + 1)

الحالة الأولى إذا أضفنا أولاً:

ثم ستكون إجابتنا: 2 × (3 + 1) = 2 × 4 = 8

الحالة الثانية إذا وزعنا الضرب على الجمع، سيكون حاصل الضرب:

2 × (3 + 1) = 2 × 3 + 2 × 1 = 6 + 2 = 8

كما في كلتا الحالتين فإن الإجابة التي نحصل عليها هي نفسها، وبالتالي فإن الضرب يكون توزيعيًا.

  • خاصية هوية الضرب

تنص خاصية هوية الضرب على أنّه إذا قمت بضرب أي رقم في 1، فستكون الإجابة دائمًا هي نفس الرقم.

على سبيل المثال دعونا نفكر في أي رقم ونضربه في 1.

  •  3 × 1 = 3
  • 7 × 1 = 7  [4]

اترك تعليقاً

لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني.

زر الذهاب إلى الأعلى