الترتيب الصحيح لاجراء العمليات الحسابية

كتابة: ماريان ابونجم آخر تحديث: 04 يناير 2022 , 00:38

ما هو الترتيب الصحيح لاجراء العمليات الحسابية

في علم الرياضيات، ترتيب العمليات يعتبر القواعد التي بناء عليها يتم التسلسل الذي يستلزم أن تحل فيه العمليات المتعددة في الحسابات الرياضية، طريقة لمعرفة ترتيب العمليات هي PEMDAS ، حيث يمثل كل حرف إلى عملية حساب ية.

  • P Parentheses.
  • E Exponent.
  • M Multiplication.
  • D Division.
  • A Addition.
  • S Subtraction.

قواعد PEMDAS التي توضح الترتيب الذي يستلزم به حل العمليات في الحسابات، الأقواس تعتبر لها الأسبقية على كل العوامل الأخرى، الخطوة الأولى هي حل كل العمليات في الأقواس، ويتم التدريب على كل المجموعات من الداخل وصولاً للخارج، وكل ما بين قوسين هو التجميع، الأس يعد هو إيجاد كل التعبيرات الأسية، أما الضرب والقسمةهو بعد هذا، الانتقال من اليسار إلى اليمين، ومن ثم الضرب أو اقسم أيهما يصل أولاً، الجمع والطرح في النهاية، الانتقال من اليسار إلى اليمين، أضافة أو اطرح أيهما يصل أولاً.[4]

كيفية الترتيب الصحيح للعمليات الحسابية

العمليات تعتبر أشياء تتمثل في الجمع والطرح والضرب والقسمة، حين يتم تجميع رقمين معًا، فهذا يتم من خلال عملية الجمع بينهما، وبالمثل، حين تضرب الأعداد معًا، وهذا يقوم بعملية الضرب، تقوم العمليات على قاعدة العمليات التي يستلزم عملها أولاً عندما يكون هناك مجموعة عمليات داخل ذات المعادلة، أما ترتيب العمليات مماثل لقواعد النحوية للغة الرياضيات، يشرح طريقة تفسير المعادلة لتدل على ما يفترض أن تعنيه.

تطبيق ترتيب العمليات (PEMDAS)
ينص ترتيب العمليات الحسابية على أن العمليات يستلزم أن تتم بالترتيب الأتي: الأقواس، الأس، الضرب، القسمة، الجمع، والطرح.

  1. الأقواس: حين يكون هناك أقواس، يستلزم عمل كل ما بداخلها في البداية، قد يحتاج أيضًا العناصر المتوفرة داخل الأقواس إلى تقسيمها بحسب ترتيب العمليات أيضًا، بل من المحتمل بوضع أقواس بين قوسين، في مثل هذه الحالات، اعمل بداية من الداخل إلى الخارج.
  2. الرفع: إذا يوجد هناك أس في المعادلة، فسيتم عمل هذا بعد ذلك.
  3. الضرب والقسمة: يمكن إتمام الضرب والقسمة سوياً، بمعنى آخر، لا يفرق إذا تمت القسمة أو الضرب في البداية، ولكن يجب إتمامها بعد الأقواس والأسس ومن قبل الجمع والطرح.
  4. جمع وطرح: الجمع والطرح يقومان معًا أيضًا، يمكن إجراء عملية الطرح أولاً ، أو يمكنك إجراء عملية الجمع أولاً، إنها جزء من ذات الخطوة، ومع هذا، لا يمكن إتمامها إلا بعد العناصر المتوفرة بين الأقواس، والأس، وأي عملية ضرب وقسمة.[1]

قوانين العمليات الحسابية

  • القوانين التبادلية:

الجمع والضرب كلاهما تبادلي، وهذا يعني مثلاً 3 + 4 = 4 + 3 و 3 × 4 = 4 × 3.

على العموم، أ + ب = ب + أ وأ × ب = ب × أ لكل زوج من الأرقام أ و ب.

التبادلية معناها أنه لا داعي للتشتيت بخصوص ما إذا كنا سنحسب أ + ب أو ب + أ لأن الإجابة هي ذاتها.

وبالمثل ، فإن حساب أ × ب و ب × أ يعطي ذات النتيجة.

  • قوانين التجمعيات:

الجمع والضرب يعتبرا كلاهما ترابطي، هذا يعني ذاك 6 + (4 + 2) = (6 + 4) + 2 و 6 × (4 × 2) = (6 × 4) × 2.

على العموم، أ + (ب + ج) = (أ + ب) + ج وأ × (ب × ج) = (أ × ب) × ج لكل ثلاثة أرقام أ ، ب ، ج.

يضمن الترابط أن التعبيرات a + b + c و a × b × c لا لبس فيها ، لأنه لا يوجد فرق في أي من العمليتين يتم حسابه أولاً.

  • قوانين التوزيع

التبادلية والترابط تعتبر من خصائص عملية حسابية واحدة، والمعادلة 3 × (2 + 4) = (3 × 2) + (3 × 4) هي مثال على توزيع الضرب على الجمع، وعلى العموم، أ × (ب + ج) = (أ × ب) + (أ × ج) لأي أرقام أ ، ب ، ج يمكن توزيع الضرب على الجمع من اليمين، إذن (أ + ب) × ج = (أ × ج) + (ب × ج) لأي أرقام أ ، ب ، ج.

يمكننا توزيع الضرب على الطرح من اليمين واليسار معًا

أ × (ب – ج) = (أ × ب) – (أ × ج) ، و

(أ – ب) × ج = (أ × ج) – (ب × ج) لأي أرقام أ ، ب ، ج

كل ما سبق يسمى قوانين التوزيع.

توزيعية الضرب على الجمع والطرح تعتبر مفتاح خوارزميات الضرب والقسمة.

يجب ملاحظة أنه يمكن توزيع القسمة على الجمع من اليمين، بمعنى أن (80 + 20) ÷ 8 = 80 ÷ 8 + 20 ÷ 8.[2]

مسائل على ترتيب العمليات الحسابية

12 – 2 ⋅ 5 + 1

ستعتمد الإجابة التي تحصل عليها إلى حد كبير على الترتيب الذي تحل به المشكلة. على سبيل المثال ، إذا كنت تعمل على حل المشكلة من اليسار إلى اليمين – 12-2 ، ثم 10⋅5 ، ثم أضف 1 – ستحصل على 51.

12-2 ⋅ 5 + 1
10 5 + 1
50 + 1
51

من ناحية أخرى ، إذا قمت بحل المشكلة في الاتجاه المعاكس – من اليمين إلى اليسار – فستكون الإجابة صفرًا.

12-2 ⋅ 5 + 1
12 – 2 6
12-12
0

أخيرًا ، ماذا لو فعلت الرياضيات بترتيب مختلف قليلاً؟ إذا قمت بالضرب أولاً ثم الجمع ، فإن الإجابة هي 3.

12-2 ⋅ 5 + 1
12-10 + 1
2 + 1
3

اتضح أن 3 هي الإجابة الصحيحة في الواقع لأنها الإجابة التي تحصل عليها عندما تتبع الترتيب القياسي للعمليات، ترتيب العمليات هو القاعدة التي تخبرك بالترتيب الصحيح لحل أجزاء مختلفة من مسألة حسابية، العملية هي مجرد طريقة أخرى لقول الحساب، الطرح والضرب والقسمة كلها أمثلة على العمليات.

يعد ترتيب العمليات مهمًا لأنه يضمن أن يتمكن الأشخاص جميعًا من قراءة مشكلة ما وحلها بنفس الطريقة. بدون ترتيب قياسي للعمليات، ستكون الصيغ الخاصة بحسابات العالم الحقيقي في العلوم المالية والعلمية غير مجدية إلى حد كبير وسيكون من الصعب معرفة ما إذا كنت تحصل على الإجابة الصحيحة في اختبار الرياضيات.[3]

مدى أهمية الترتيب الصحيح لاجراء العمليات

ترتيب العمليات يعتبر مجموعة من القواعد التي تدل على الترتيب السليم لحل أجزاء متنوعة من المسأل الحسابية، إنه يعتبر اتفاق توصلنا له الكل للتأكد من أننا تقرأ العملية ونفهمها بذات الطريقة.

وبحسب ترتيب العمليات، يجب أولاً حل المعادلات ما بين قوسين وأقواس، نظرًا لأنها تكون مثل حزم، يستلزم حل الأقواس والأقواس بصورة مستقلة، بمعنى ثاني، وتحتاج إلى حل العمليات بين الأقواس بحسب ترتيب العمليات، تظهر بشكل ما بين الأقواس من أين تبدأ، بعد هذا، تأتي الأسس التي تظهر أيضًا كحزمة ويجب تبسيطها بالبداية، ثم يتم الضرب والقسمة والجمع والطرح باانهاية، من الهام التأكد من أنه يتم الضرب والقسمة والجمع والطرح من اليسار إلى اليمين.

في الاغلب ما يتساءل الطلاب عن اسباب الحاجة إلى اتباع ترتيب العمليات، طريقة للمساعدة على الفهم هي ممارسة لعبة صغيرة من خلالهم، أعط مشكلة رقمية مع عمليات مختلطة، على سبيل المثال 4+ 20 × 3 – 2 = واطلب من جميع الطلاب حلها بأي ترتيب يريدونه. سيكون هناك العديد من الإجابات لنفس المشكلة. حتى واحد الذي هو الصحيح انه مشتت للعاية، لهذا السبب نحتاج إلى هذه القاعدة الخاصة المسماة “ترتيب العمليات”، قد تمثل الجملة الرقمية أو الجملة الرياضية مشكلة كلامية، لذا يجب حلها بصورة منطقية للمشكلة.

على سبيل المثال، ما هي الجملة العددية للمسألة التالية: مزارع يبيع تفاحه في السوق مقابل 3 دولارات للكيلوغرام والبرتقال مقابل 5 دولارات للكيلوغرام يدفع 10 دولارات في اليوم لاستئجار الطاولة من سوق المزارعين، وباع يوم الاثنين 12 كلغ من التفاح و 9 كلغ من البرتقال، كم من المال جنى يوم الاثنين، الجملة العددية الصحيحة هي:
[(3 × 12) + (5 × 9)] – 10 = إذا تجاهلت ترتيب العمليات وقمت بالإضافة أولاً، سأضيف 12 + 5 ، 12 هو عدد الكيلوجرامات و 5 هو 5 دولارات. ليس من المنطقي إضافتهم معًا.

اترك تعليقاً

لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني.

زر الذهاب إلى الأعلى
error: