محتويات
مجسم قاعدتاه دائرتان متطابقتان ومتوازيتان ماهو ؟
مجسم قاعدتاه دائرتان متطابقتان ومتوازيتان هو الأسطوانة.
والإسطوانة شكل هندسي له قاعدتان وارتفاع، قاعِدتيه على شكل دائرتين متطابقاين ومتوازيتين، يصل بينهما جسم الإسطوانة الذي يقيس ارتفاعها، ليس للإسطوانة أضلاع ولا أحرف ولا رؤوس نحو غيره من المجسمات، كما أن ليس لها أقطار.
الإسطوانة شكل هندسي ثلاثي الأبعاد، لديه قاعدتان على شكل دائرتان متطابقتين ومتوازيتين، يفصل بينهما سطح منحني مغلق، يطلق على طول المسافة بين القاعدتين الدائريتين اسم ارتفاع الإسطوانة، والخط الواصل بين مركز القاعدتين الدائريتين هو محور الإسطوانة.
الأمثلة على الإسطوانات من حولنا كثيرة، على سبيل المثال إسطوانة الغاز السائل، عبوات المعلبات، خزانات المياه، والكثير غيرها، أما عن الخصائص الأساسية لها، مساحة سطحها (المقصود فيه مساحة الشكل الدائري القاعدة)، والحجم الكلي للأسطوانة (مجموع مساحة سطحها المنحني ومساحة القاعدتين الدائريتين)، والمقصود بالحجم المساحة الثلاثية الأبعاد التي تشغلها الإسطوانة. [1] [2]
كم سطح للاسطوانة
إن عدد أسطح الإسطوانة ثلاثة سطوح.
ففي الأساس الإسطوانة شكل هندسي ثلاثي الأبعاد، أوجهه الثلاث هي القاعدتان الدائريتان الطبوقتان والمتوازيتان، ومساحة الشكل المنحني أي الخط المنحني المغلق الذي يقع بين القاعدتين.
والحري بالذكر أن هذه الأوجه تساعد في حساب المساحة الجانبية للإسطوانة، ومساحة القاعدة، ومساحة الإسطوانة وحجمها، فكل من القوانين التي تم صياغتها لحساب هذه المفاهيم يعتمد على نصف قطر القاعدة الدائرية والارتفاع.
خصائص الاسطوانة في الرياضيات
- الشكل.
- الارتفاع.
- المحور.
- الرؤوس.
- الأضلاع.
- القاعدتان.
- الإسطوانة القائمة.
- الإسطوانة المائلة.
- مساحة السّطح المنحني للإسطوانة.
- المساحة الإجمالية للإسطوانة.
- حجم الإسطوانة.
تتعدد خصائص الإسطوانة في الرياضيات، وهذه الخصائص هي التالي:
الشكل: الإسطوانة شكل هندسي ثلاثي الأبعاد، له قاعدتين كل منهما دائرة، القاعدتين الدائريتين متساويتين، ومتعامدتين، تتصلان بسطح منحني مغلق.
الارتفاع: عبارة عن قطعة مستقيمة تصل بين قاعدتي الإسطوانة الدائريتين من غير مركز القاعدتين.
المحور: محور الإسطوانة هي القطعة المستقيمة التي تصل بين مركز القاعدتين الدائريتين المتوازيتين.
الرؤوس: لا تحتوي الإسطوانة على أي رأس.
الأضلاع: لا تحتوي الإسطوانة على أي ضلع، فكلها خطوط منحنية مغلقة، وليس بها أي خط مستقيم.
القاعدتان: قاعدتا الإسطوانة دائريتين متطابقتين متوازيتين.
الإسطوانة القائمة: إذا شكل محور الإسطوانة زاوية قائمة مع القاعدتين ووقعا فوق بعضهما البعض كان الشكل الإسطوانة القائمة.
الإسطوانة المائلة: إذا لم يشكل محور الإسطوانة زاوية قائمة مع القاعدتين، ولم تقع القاعدتين فوق بعضهما البعض بل بشكل قائم كان الشكل الإسطوانة المائلة.
مساحة السّطح المنحني للإسطوانة: هو الشكل المنحني المغلق الذي يقع بين القاعدتين الدائريتين للإسطوانة، تعطى وفقاً للقانون مساحة السطح المنحنية = 2πrh وحدة مربعة.
المساحة الإجمالية للإسطوانة: مجموع مساحة السطح المنحني للإسطوانة مع مساحة القاعدتين الدائريتين، تعطى المساحة وفقاً للقانون التالي: TSA = السطح المنحني + مساحة القواعد الدائرية، وبالرموز TSA = 2πrh + 2πr 2.
حجم الإسطوانة: المساحة التي يشغلها الشكل الهندسبي الثلاثي الأبعاد، تقاس بالواحدة المكعبة (رفع واحدة الطول للأس 3)، ويعطى القانون وفقاً لما يلي: بي ضرب نصف قطر الدائرة (القاعدة) أس 2 بالارتفاع، ويعطى بالقانون V = πr 2 h مكعب، حيث أن “h” هو الارتفاع، و “r” هو نصف القطر. [2]
مساحة الإسطوانة الجانبية
المقصود بمساحة الإسطوانة الجانبية بأنها المساحة التي تغطي السطح المنحني ومساحة كل من القاعدتين في الإسطوانة.
بمعنى أن لمساحة الإسطوانة الجانبية معطيين رئيسيين هما مساحة السطح المنحني، ومساحة السطحين المسطحين وهما السطحين الدائريين، الحري بالذكر أن مساحة الإسطوانة الجانبية يتم حسابه لعدة أغراض منها معرفة سطح الحاوية الإسطوانية، أو أنابيب السباكة وغيرها، بمعنى أن للمساحة تطبيقات كثيرة على أرض الواقع.
تعطى مساحة الإسطوانة الجانبية وفقاً للقانون التالي: TSA = 2πrh أي 2 × π × نصف قطر القاعدة الدائرية × الارتفاع، حيث تعطى الرموز وفقاً لما يلي:
- π تساوي 3.14 أو 22/7.
- r هو نصف قطر القاعدة الدائرية.
- h هو ارتفاع الأسطوانة.
على سبيل المثال: إسطوانة، نصف قطرها 6 cm، وارتفاعها 8 cm، أحسب المساحة الجانبية.
لحساب المساحة الجانبية للإسطوانة يتم اتباع الخطوات التالية:
- نكتب القانون المساحة الجانبية للإسطوانة TSA = 2πrh مربع.
- نعوض في القانون TSA = 2 × 3.14 × 6 × 8
- نجد أن: TSA = 301.44 cm مربع. [3]
حجم الإسطوانة
حجم الإسطوانة هو مساحة الشكل الهندسي الثلاثي الأبعاد، أو المقدار الكمي الذي يشير إلى كمية المادة التي يمكن أن تشملها الإسطوانة.
يُعطى مقدار حجم الإسطوانة وفقاً للقانون: حجم الإسطوانة = بي × نصف قطر الدائرة (القاعدة) مربع × الارتفاع، أو (مساحة القاعدة) × ارتفاع الأسطوانة، ويصاغ القانون بالرموز على النحو التالي: V = π r 2 h مكعب، بيحث يكون:
- π تساوي 3.14 أو 22/7.
- r هو نصف قطر القاعدة الدائرية.
- h هو ارتفاع الأسطوانة.
على سبيل المثال: إسطوانة قطرها 6 cm، وارتفاعها 8 cm أحسب حجمها.
- لحساب حجم الإسطوانة لا بد من الحصول على قيمة نصف قطر القاعدة في البداية، فالقطر6 cm، إذاً نصف قطرها 3 cm.
- نكتب القانون حجم الإسطوانة = (مساحة القاعدة) × ارتفاع الأسطوانة أو V = π 2 h مكعب.
- نعوض في القانون V = 3.14 × (3)² × 8.
- نجد أن: V = 226.08 cm مكعب. [4]
