بحث عن المتجهات في المستوى الاحداثي

كتابة ايمان محمود آخر تحديث: 25 فبراير 2019 , 21:04

في الرياضيات والفيزياء والهندسة ، يكون الناقل الإقليدي (الذي يطلق عليه أحيانًا اسم متجه هندسي، أو متجه مكاني، أو كما هو الحال هنا ببساطة ناقلًا) هو كائن هندسي له حجم (أو طول) واتجاه، ويمكن إضافة ناقلات إلى ناقلات أخرى، وغالباً ما يتم تمثيل ناقل أقليدي بواسطة مقطع خط ذو اتجاه محدد ، أو رسم بياني كما لو انه سهم ، يربط نقطة أولية A بنقطة طرفية B ، ويشار إليه بواسطة AB .

تعريف المتجه

المتجه هو ما نحتاجه “لنقل” النقطة A إلى النقطة B ، وتم استخدام هذا اللفظ لأول مرة بواسطة علماء فلك القرن الثامن عشر الذين كانوا يحققون في ثورة كوكبية حول الشمس، إن حجم المتجه هو المسافة بين النقطتين ويشير الاتجاه إلى اتجاه النزوح من A إلى B ، العديد من العمليات الجبرية على الأرقام الحقيقية، مثل الجمع والطرح والضرب والنفي لها نظائر قريبة من النواقل والعمليات التي الالتزام بالقوانين الجبرية المألوفة الخاصة بالتبادلية ، والتآلفية ، والتوزيع، وتؤهل هذه العمليات والقوانين المرتبطة بها النواقل الإقليدية كمثال للمفهوم الأكثر عمومية للناقلات، الذي يعرف ببساطة على أنه عناصر مساحة ناقلة .

تلعب النواقل دورًا مهمًا في الفيزياء: حيث يمكن وصف سرعة الجسم المتحرك وتسارعه ، ويمكن وصف جميع القوى المؤثرة عليه بالنواقل، والعديد من الكميات الفيزيائية الأخرى يمكن اعتبارها مفيدة كناقلات، وعلى الرغم من أن معظمها لا يمثل المسافات (باستثناء ، على سبيل المثال ، الموقع أو الإزاحة) ، إلا أن حجمها واتجاهها يمكن تمثيلهما من خلال طول واتجاه السهم، ويعتمد التمثيل الرياضي للناقل الفيزيائي على نظام الإحداثيات المستخدم لوصفه، وتتضمن الأجسام الأخرى المشابهة للنواقل التي تصف الكميات الفيزيائية وتتحول بطريقة مماثلة تحت تغيرات نظام الإحداثيات pseudovctors و tensors .

معلومات عن المتجهات الرياضية

المتجه في الرياضيات عبارة عن سهم يتجه من نقطة إلى أخرى، وكل متجه في الرياضيات له ثلاث عناصر وهم : المقدار، الذي يتمثل في كونه كمية قياسية تمثل طول المتجه، والاتجاه وهو يتحدد في فضاء ثلاثي الأبعاد، وذلك عن طريق ما يسمى بزوايا اويلر، ونقطة التأثير، وهي التي ينطلق منها المتجه، والمتجه لا يعتمد على جملة الإحداثيات، وأشهر مثال للمتجه هو القوة الفيزيائية، والتي لها مقدار واتجاه في فضاء ثلاثي الأبعاد ونقطة تأثير، وعند تحديد الزوج المرتب الممثل لمتجه ما ، نبدأ دائماً من نقطة الانطلاق .

فنحن نقوم أولا بكتابة عدد وحدات الحركة في صورة أفقية سواء يميناً أو يساراً ، شرقاً أو غرباً ، ثم بعد ذلك نكتب عدد وحدات الحركة في صورة رأسية، سواء إلى الأعلى أو الأسفل ، أو شمالاً أو جنوباً ، وعندما نتحرك من نقطة البداية في صورة أفقية يميناً أو شرقا، تكون اشارة العدد الممثل إشارة موجبة، وعندما نتحرك من البداية أفقياً  لكن يساراً أو غرباً، تكون اشارة العدد سالبة، وبالمثل عندما نتحرك من نقطة البداية في صورة عمودية سواء إلى الأعلى أو إلى الشمال، تكون اشارة العدد الممثل موجبة، وعندما نتحرك من نقطة البداية بصورة عمودية سواء إلى الأسفل أو جنوبا ، تكون اشارة العدد الممثل سالبة .

إذن تحتوي كمية المتجه على الحجم والاتجاه، والتسارع والسرعة والقوة والنزوح كلها أمثلة على كميات المتجهات، والكمية العددية لها حجم واحد فقط (لذا فإن الاتجاه ليس مهمًا)، وتشمل الأمثلة السرعة والوقت والمسافة، ويجب دومًا تسطير الحروف المستخدمة لتمثيل المتجهات أو بخط غامق، على سبيل المثال ، قد يتم تمثيل سرعة الكائن بـ v نظرًا لأن هذه الكمية متجهية ، تكون بنمط غامق، وعادة ما تستخدم خطابات الحالة الصغيرة لتمثيل المتجهات .

متجه الوحدة هو متجه ذو حجم واحد، يوجد ثلاثة متجهات وحدة هامة والتي يتم استخدامها بشكل شائع وهذه المتجهات في اتجاه محاور x و y و z ، متجه الوحدة في اتجاه المحور السيني هو i ، متجه الوحدة في اتجاه المحور y هو j ومتجه الوحدة في اتجاه المحور z هو k، وكتابة المتجهات في هذا الشكل يمكن أن تجعل العمل مع النواقل أسهل، وإذا تمت إضافة متجهين معًا ، فيتم العثور على النتيجة بوضع المتجهات المراد إضافتها من طرف لآخر، وإذا تم إعطاء المتجهات في نموذج متجه الوحدة ، فما عليك سوى إضافة قيم i و j و k ، ويمكن العثور على حجم ناقلات باستخدام نظرية فيثاغورس، حجم ai + bj = √ (a2 + b2)، أما بالنسبة لحل المتجهات، فيعني إيجاد حجمه في اتجاه معين .

تاريخ المتجهات

تطور مفهوم المتجه ، كما نعرفه اليوم ، تدريجيًا على مدى أكثر من 200 عام، وقدم حوالي عشرة أشخاص مساهمات كبيرة فيه، ولقد قام Giusto Bellavitis بتجريد الفكرة الأساسية في عام 1835 عندما أسس مفهوم “equipollence” ، وتم تقديم مصطلح المتجه من قبل ويليام روان هاميلتون كجزء من quaternion ، وهو مجموع q = s + v من عدد حقيقي s يسمى أيضًا scalar وناقل ثلاثي الأبعاد، واعتبر هاملتون أن المتجه v هو الجزء التخيلي من quaternion:، والعديد من علماء الرياضيات الآخرين طوروا أنظمة شبيهة بالنواقل في منتصف القرن التاسع عشر ، بما في ذلك أوغستين كوشي ، هيرمان جراسمان ، أغسطس موبيوس ، كونت دي سان-فينانت ، وماثيو أوبراين .

وكان عمل Grassmann في عام 1840 (نظرية الانحراف) أول نظام تحليلي مكاني شبيه بنظام اليوم، ولديه أفكار تقابل المنتج المتقاطع ، والمنتج القياسي ، وتمايز المتجهات، وقام بيتر غوثري تيت بمعايير quaternion بعد هاملتون، وفي عام 1878 تم نشر عناصر ديناميكية بواسطة وليام كينجدون كليفورد، حيث قام كليفورد بتبسيط دراسة quaternion عن طريق عزل منتج النقطة والمنتج المتقاطع من متجهين، ويقدم النصف الأول من تحليل غيبس لتحليل المتجهات ، الذي نشر في عام 1881 ، ما هو في الأساس النظام الحديث لتحليل المتجهات، وفي عام 1901 ، قام إدوين بيدويل ويلسون بنشر تحليل المتجهات ، الذي تم تعديله من محاضرات جيب ، التي نفت أي ذكر للتأخر في تطوير متجهات حساب التفاضل والتكامل .

زر الذهاب إلى الأعلى
إغلاق