قانون ضعف الزاوية

كتابة دينا محمود آخر تحديث: 12 أبريل 2020 , 12:34

قانون ضعف الزاوية هو أحد القوانين حساب المثلثات الهامة ، وله ثلاثة أشكال هم  جا ، جتا ، ظا وكل شكل له قانون مختلف ، وفهم صيغة قانون ضعف الزاوية مهم في علم المثلثات ويساعد دراسته على معرفة الروابط بين النسب المثلثية من حيث صلتها بصيغة الزاوية المزدوجة.

ما هو قانون ضعف الزاوية

يرتبط المفهوم المعروف لضعف الزاوية بالنسب المثلثية المشتركة الثلاثة: وهي: جيب الزاوية (جا) ، وجيب تمام الزاوية (جتا) ، وظل الزاوية (ظا) هذه النسب هي وظائف تظهر العلاقة بين جانبي المثلث الأيمن ، فيما يتعلق بزوايا معينة في المثلث.

ضعف الزاوية يعني زيادة حجم الزاوية إلى ضعف حجمها ، يمكننا تحقيق ذلك بطريقتين ، عن طريق الضرب أو عن طريق الإضاف  مثال إذا كانت الزاوية 100 درجة عند مضاعفة الزاوية ، تصبح 200 درجة ،  في علم المثلثات مضاعفة الزاوية متشابهة في المفهوم ، ومع ذلك يجب توخي الحذر بشأن ما نضاعفه بالضبط.

لنفترض أن لدينا جتا 60 = 0.5. إذا أردنا مضاعفة الزاوية ، فقد نفكر في القيام بأحد الإجراءات التالية:

  •  2 * جتا x ستعطي 2 * 0.5 = 1
  •  جتا 2 x ستعطي جتا 2 * 60 = جتا 120 = – 0.5

في المثال الأول لا نقوم بمضاعفة الزاوية ، بل مضاعفة جيب الزاوية ، في الجزء الثاني ، نقوم بمضاعفة الزاوية فقط.

لذلك يشير مضاعفة الزاوية إلى ضرب الزاوية في اثنين والطريقة الأخرى لمضاعفة الكمية هي إضافة نفس الكمية إلى الكمية الأصلية مثال ، إذا كان لديك 10 تفاح وقمنا بمضاعفة المبلغ ، فيمكننا إضافة 10 تفاح آخر من خلال إضافة قمنا أيضًا بمضاعفة المبلغ ، تمامًا مثلما نضرب في 2.

ينطبق كلا هذين المفهومين على مضاعفة زاوية النسب المثلثية وعليه ، فإن مضاعفة الزاوية تشير إلى ما يلي:

Sin (x + x) = Sin 2 x

Cos (x + x) = Cos 2 x

Tan (x + x) = Tan 2 x

صيغة قانون ضعف الزاوية 

  • جا (2س)=2 جا (س) جتا (س)=2 ظا (س)/ (1+ظا² (س)).
  • جتا (2 س)=جتا² (س)-جا² (س)=2 جتا ²(س)-1=1-2 جا ²٠(س)=(1-ظا²(س)) /(1+ظا² (س)).
  •  ظا (2س)=2 ظا (س) / (1-ظا² (س)).[1]

جيب زاوية مزدوجة

sin 2 α = 2 sin α cos α

دليل إثبات

جيب مجموع زاويتين :

sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β

سنستخدم هذا للحصول على جيب الزاوية المزدوجة.

إذا أخذنا الجانب الأيسر (LHS):

( α + β )

واستبدال β مع α ، نحصل على:

sin ( α + β ) = sin ( α + α ) = sin 2 α

خذ بعين الاعتبار RHS:

sin α cos β + cos α sin β

نظرًا لأننا استبدلنا β في LHS بـ α ، نحتاج إلى القيام بنفس الشيء على الجانب الأيمن ، نقوم بذلك ونحصل على:

sin α cos α + cos α sin α = 2 sin α cos α

بوضع نتائجنا لـ LHS و RHS معًا ، نحصل على النتيجة المهمة:

sin 2 α = 2 sin α cos α

تسمى هذه النتيجة جيب الزاوية المزدوجة ، إنه مفيد لتبسيط التعبيرات لاحقًا.

جيب التمام لضعف الزاوية

باستخدام عملية مماثلة ، نحصل على جيب تمام صيغة مزدوجة الزاوية :

cos 2 α = cos 2 α – sin 2 α

دليل إثبات

هذه المرة نبدأ بجيب التمام لمجموع زاويتين :

cos ( α + β ) = cos α cos β – sin α sin β ،

ومرة أخرى استبدل β بـ α على كل من LHS و RHS ، على النحو التالي:

LHS = cos ( α + α ) = cos (2 α )

RHS = cos α cos α – sin α sin α = cos 2 α – sin 2 α.

أشكال مختلفة من نتيجة ضعف الزاوية جيب التمام

باستخدام النتيجة sin 2 α + cos 2 α = 1 ، ( التي وجدناها في الهويات المثلثية ) يمكننا كتابة RHS للصيغة أعلاه على النحو التالي:

cos 2 α – sin 2 α

= (1− sin 2 α ) – sin 2 α

= 1− 2 sin  2 α

وبالمثل ، فإننا يمكن أن تكون بديلا (1 – جتا 2 α ) ل 2 α في موقعنا RHS والحصول على:

cos 2 α – sin 2 α

= cos 2 α – (1 – cos 2 α )

= 2cos 2 α – 1

أمثلة تطبيقية على قانون ضعف الزاوية 

المثال الأول: إذا كانت س زاوية في الربع الثالث ، وكانت قيمة جا(س) =-3/5 ، جد قيمة جا(2س) ،جتا(2س) ، ظا(2س).

الحل:

  • نقوم برسم مثلث قائم  الزاوية ونقوم بتمثيل ارقام المثال ونطبق قانون فيثاغورس ، سوف نعرف ان جيب تمام سالب في الربع الثالث.
  • ينتج أن جتا(س) =-4/5 ، ظا(س) =3/4. بتطبيق قانون جا(2س) =2جا(س)جتا(س) =2×-3/5×-4/5=24/25.
  •  بتطبيق قانون جتا(2س) =1-2جا²(س) =1-(2ײ(3/5))=0.28.
  •  بتطبيق قانون ظا(2س) =2ظا(س)/(1-ظا²(س)) =2×(3/4)/(1-²(3/4)) =24/7.

المثال الثاني: احسب جميع القيم الممكنة للزاوية س ، إذا كان 2جتا(س)+جا(2س) =0 ، حيث 360≥س≥0

الحل:

  • باستبدال جا(2س) با 2جا(س) جتا(س) هيكون الناتج : 2جتا(س)+2جا(س) جتا(س) مع استخراج العامل المشترك 2جتا(س) يصبح الناتج 2جتا(س) (1+جا(س)) =0 
  • عندما نقوم باستخدام قانون الضرب بالصفر ، وهو إذا كان أ ، ب عددين وكان أ×ب =0 فإنّ أ =0 أو ب = 0 ، أو كلا العددين أ ، ب يساويان صفراً
  • ينتج من ذلك 2جتا(س) =0 ، 1+جا(س) =0 ، وايضا جتا(س) =0 ، وجا(س) =-1
  • نقوم بعد ذلك تحديد زوية جيب التمام المساوية للصفر  ، وهي س =90، 270 درجة ، وايضا نحدد الزوايا ذات الجيب المساوي ل -1 وتكون 270 درجة ، وينتج من ذلك  الحل س = 90 درجة، 270 درجة.

المثال الثالث: أوجد قيمة جا ( 2×ظا-1 (3/4 )).

 الحل: 

  • عندما نقوم بتطبيق قانون جا(2س) =2جا(س)جتا(س)، ينتج لنا  جا(2×ظا-1 (3/4)) =2جا(ظا-1 (3/4)جتا(ظا-1 (3/4)). 
  • ونقوم بتمثيل الأرقام باستخدام المثلث قائم الزاوية وتطبيق قانون فيثاغورس لينتج أن: جتا(ظا-1 ( 3/4 )) = 4/5، جا(ظا-1(3/4) =3/5.
  • ونقوم لتعويض الأرقام في القانون السابق لينتج أن: جا(2×ظا-1 (3/4) =2×3/5×4/5 =24/25.

 المثال الرابع: إذا كانت قيمة جتا(س)= 3/3√2 ، وكانت الزاوية س في الربع الأول ، أوجد قيمة جا(2س) + جتا(2س).

الحل: 

  • جتا(س) =3/3√2 =1/جا(س) ، وبالتالي جا(س) =3√3/2 .
  • تقوم برسم مثلث قائم الزاوية ونمثل عليه الأرقام  ونطبق قانون فيثاغورس ينتج أن: جتا(س) =1/2.
  • ثم نطبق قانون جا(2س) =2جا(س)جتا(س) =2×( 3√3/2 )×(1/2) =3√3/2. 
  • ثم تطبيق قانون جتا(2س) =2جتا²(س)-1 =2ײ(1/2)-1 =½ ، مما يتضح لنا أن  جتا(2س) =-½ ، ولأنه يقع في الربع الثاني فيكون سالب القيمة
  • ونقوم بحساب قيمة جا(2س) + جتا(2س) =3√3/2+1/2-=3√2/(3√-3)

المثال الخامس: أثبت أن (1-ظا²(ٍس)) / قا²(س)= جتا(2س).

الحل:

  • من خلال تبسيط السؤال ينتج أن (1-ظا²(ٍس)) /قا²(س)= (1-(جا²(س)/جتا²(س)) × (1/قا²(س)). (1-(جا²(س)/جتا²(س)) × جتا²(س)= جتا²(س)-جا²(س)= جتا(2س).

المثال السادس : إذا كانت س زاوية حادة، وكان جا(س) = 0.6 ، فماهي قيمة جا (2س).

 الحل:

  • نقوم  بحويل قيمة جا (س) إلى كسر عبارة عن بسط ومقام ، لتكون جا(س) = 6/10. 
  • ثم ترسم مثلث ونقوم بوضع الارقام ونطبق قانون فيثاغورس لنكتشف أن: جتا(س) = 8/10.
  • ثم  نقوم بتطبيق قانون جا (2س) = 2جا(س) جتا(س) لينتج أن جا(2س) =2×6/10×8/10=48/50=0.96.

المثال السابع:أوجد القيمة الدقيقة جا 105 ° باستخدام قانون نصف الزاوية.

الحل

  • في البداية نتذكر  أن 105 ° في الربع الثاني ، وأن وظائف الجيب في الربع الثاني موجبة.
  • أيضًا 210 درجة في الربع الثالث ، ووظائف جيب التمام في الربع الثالث سالب
  • وعند الاستعانه بالمثلث ، المثلث المرجعي 210 درجة في الربع الثالث هو مثلث 30 درجة -60 درجة -90 درجة ، لذلك تكون جا 210 ° =  جا 30°. [2]
الوسوم
زر الذهاب إلى الأعلى
إغلاق